如图，在正方体 A B C D-A_ 1 B_ 1 C_…——2020 高考数学第 16 题答案解析

（I）在正方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，
$AB // A_{1}B_{1}$ 且 $AB = A_{1}B_{1}$，
又 $A_{1}B_{1} // D_{1}C_{1}$ 且 $A_{1}B_{1} = D_{1}C_{1}$，
$\therefore AB // D_{1}C_{1}$ 且 $AB = D_{1}C_{1}$，
$\therefore$ 四边形 $ABC_{1}D_{1}$ 为平行四边形，
$\therefore BC_{1} // AD_{1}$．
又 $BC_{1} \not\subset$ 平面 $AD_{1}E$，$AD_{1} \subset$ 平面 $AD_{1}E$，
$\therefore BC_{1} //$ 平面 $AD_{1}E$．

（II）以 $A$ 为原点，$\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AA_{1}}$ 的方向分别为 $x, y, z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系 $A-xyz$．
设正方体棱长为 2，则 $A(0,0,0)$，$D_{1}(2,0,2)$，$E(0,2,1)$，$A_{1}(0,0,2)$．
$\therefore \overrightarrow{AD_{1}} = (2,0,2)$，$\overrightarrow{AE} = (0,2,1)$，$\overrightarrow{AA_{1}} = (0,0,2)$．
设平面 $AD_{1}E$ 的法向量为 $\vec{n} = (x,y,z)$，
则 $\begin{cases} \vec{n} \cdot \overrightarrow{AD_{1}} = 2x + 2z = 0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{AE} = 2y + z = 0 \end{cases}$，
取 $z = -2$，得 $x = 2, y = 1$，即 $\vec{n} = (2,1,-2)$．
设直线 $AA_{1}$ 与平面 $AD_{1}E$ 所成角为 $\theta$，
则 $\sin \theta = |\cos \langle \vec{n}, \overrightarrow{AA_{1}} \rangle| = \frac{|\vec{n} \cdot \overrightarrow{AA_{1}}|}{|\vec{n}| \cdot |\overrightarrow{AA_{1}}|} = \frac{|-4|}{\sqrt{4+1+4} \cdot 2} = \frac{4}{3 \times 2} = \frac{2}{3}$．
即直线 $AA_{1}$ 与平面 $AD_{1}E$ 所成角的正弦值为 $\frac{2}{3}$．