椭圆 C: x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^ 2 =…——2022 高考数学第 10 题答案解析

解题思路：对称点设成一对，斜率积直接化成半轴比 设左顶点 \(A(-a,0)\)，由关于 \(y\) 轴对称，取 \(P(x_0,y_0)\)、\(Q(-x_0,y_0)\)。题目给出的两条斜率都存在，因此 \[k_{AP}k_{AQ}=\frac{y_0}{x_0+a}\cdot\frac{y_0}{a-x_0}=\frac{y_0^2}{a^2-x_0^2}.\] 又由椭圆方程 \(\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1\)，可得 \(y_0^2=\frac{b^2}{a^2}(a^2-x_0^2)\)。代入后，点的坐标全部消去：\(k_{AP}k_{AQ}=\frac{b^2}{a^2}=\frac14\)。 最后用 \(e^2=1-\frac{b^2}{a^2}\)，得到 \(e=\frac{\sqrt3}{2}\)。突破口是把对称条件写进坐标，先求半轴比，再求离心率。 易错提醒：斜率乘积的符号不要看错 若补作 \(Q\) 关于 \(x\) 轴的对称点 \(Q'\)，则 \(AQ'\) 与 \(AQ\) 的斜率互为相反数。题设给的是 \(k_{AP}k_{AQ}=\frac14\)，换成辅助点后应为 \(k_{AP}k_{AQ'}=-\frac14\)。使用带负号的椭圆斜率定值关系前，先看清所用的是哪两条直线，避免漏掉这一步符号变化。