记 S_ n 为数列 a_ n 的前 n 项和，已知 a_…——2022 高考数学第 17 题答案解析

（1）由 $a_1=1$ 得 $S_1=1$，故 $\frac{S_1}{a_1}=1$。
因为数列 $\left\{\frac{S_{n}}{a_{n}}\right\}$ 是公差为 $\frac{1}{3}$ 的等差数列，所以
$$ \frac{S_{n}}{a_{n}} = 1 + (n-1) \times \frac{1}{3} = \frac{n+2}{3} $$
即 $S_n = \frac{n+2}{3} a_n$。

当 $n \ge 2$ 时，
$$ a_n = S_n - S_{n-1} = \frac{n+2}{3} a_n - \frac{n+1}{3} a_{n-1} $$
整理得：
$$ \left( 1 - \frac{n+2}{3} \right) a_n = - \frac{n+1}{3} a_{n-1} $$
$$ \frac{1-n}{3} a_n = - \frac{n+1}{3} a_{n-1} $$
$$ (n-1) a_n = (n+1) a_{n-1} $$
即 $\frac{a_n}{a_{n-1}} = \frac{n+1}{n-1}$ ($n \ge 2$)。

利用累乘法求通项：
$$ \begin{aligned} a_n &= a_1 \cdot \frac{a_2}{a_1} \cdot \frac{a_3}{a_2} \cdots \frac{a_n}{a_{n-1}} \\ &= 1 \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{4}{2} \cdot \frac{5}{3} \cdots \frac{n}{n-2} \cdot \frac{n+1}{n-1} \end{aligned} $$
观察分子分母消去规律，剩余项为：
$$ a_n = \frac{n(n+1)}{1 \cdot 2} = \frac{n(n+1)}{2} $$
当 $n=1$ 时，$a_1 = \frac{1 \times 2}{2} = 1$，符合题意。
故数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n = \frac{n(n+1)}{2}$。

（2）由（1）知 $a_n = \frac{n(n+1)}{2}$，则
$$ \frac{1}{a_n} = \frac{2}{n(n+1)} = 2 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) $$
所以
$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k} &= 2 \left[ \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \right] \\ &= 2 \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) \end{aligned} $$
因为 $n \in \mathbb{N}^*$，所以 $\frac{1}{n+1} > 0$，即 $1 - \frac{1}{n+1} < 1$。
故
$$ \frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}} = 2 \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right) < 2 $$
证毕。