数列的综合应用　·　历年高考数学真题与解析

10．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}=\frac{1}{4}\left(a_{n}-6\right)^{3}+6(n=1,2,3, \cdots)$ ，则（ ）

21．已知数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的项数均为 $m(m>2)$ ，且 $a_{n}, b_{n} \in\{1,2, \cdots, m\},\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $A_{n}, B_{n}$ ，并规定 $A_{0}=B_{0}=0$ 。对于 $k \in\{0,1,2, \cdots, m\}$ ，定义 $r_{k}=\max \left\{i \mid B_{i} \leq A_{k}, i \in\{0,1,2, \cdots, m\}\right\}$ ，其中， $\max M$ 表示数集 $M$ 中最大的数．
（1）若 $a_{1}=2, a_{2}=1, a_{3}=3, b_{1}=1, b_{2}=3, b_{3}=3$ ，求 $r_{0}, r_{1}, r_{2}, r_{3}$ 的值；
（2）若 $a_{1} \geq b_{1}$ ，且 $2 r_{j} \leq r_{j+1}+r_{j-1}, j=1,2, \cdots, m-1$ ，求 $r_{n}$ ；
（3）证明：存在 $p, q, s, t \in\{0,1,2, \cdots, m\}$ ，满足 $p>q, s>t$ ，使得 $A_{p}+B_{t}=A_{q}+B_{s}$ ．

15．己知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 各项均为正数，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $a_{n} \cdot S_{n}=9(n=1,2, \cdots)$ 。给出下列四个结论：
①$\left\{a_{n}\right\}$ 的第 2 项小于 3；
②$\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列；
③$\left\{a_{n}\right\}$ 为递减数列；
④$\left\{a_{n}\right\}$ 中存在小于 $\frac{1}{100}$ 的项．

其中所有正确结论的序号是 $\_\_\_\_$ ．

17．记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1}=1,\left\{\frac{S_{n}}{a_{n}}\right\}$ 是公差为 $\frac{1}{3}$ 的等差数列．

（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）证明：$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}<2$ ．

18．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列，且 $a_{1}=b_{1}=a_{2}-b_{2}=a_{3}-b_{3}=1$ ．

（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和为 $S_{n}$ ，求证：$\left(S_{n+1}+a_{n+1}\right) b_{n}=S_{n+1} b_{n+1}-S_{n} b_{n}$ ；
（3）求 $\sum_{k=1}^{2 n}\left[a_{k+1}-(-1)^{k} a_{k}\right] b_{k}$ ．

18.

已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正数，记 $S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，从下面（1）（2）（3）中选取两个作为条件，证明另外一个成立。
（1）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列：（2）数列 $\left\{\sqrt{S_{n}}\right\}$ 是等差数列；（3）$a_{2}=3 a_{1}$ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

19．记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，$b_{n}$ 为数列 $\left\{S_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项积，已知 $\frac{2}{S_{n}}+\frac{1}{b_{n}}=2$ ．
（1）证明：数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列；
（2）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式。

21．（18分）已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n \neq 0$，对任意 $n \geq 2$，$a_n$ 和 $a_{n+1}$ 中存在一项使其为另一项与 $a_{n-1}$ 的等差中项．
（1）已知 $a_1 = 5$，$a_2 = 3$，$a_4 = 2$，求 $a_3$ 的所有可能取值；
（2）已知 $a_1 = a_4 = a_7 = 0$，$a_2$、$a_5$、$a_8$ 为正数，求证：$a_2$、$a_5$、$a_8$ 成等比数列，并求出公比 $q$；
（3）已知数列中恰有3项为0，即 $a_r = a_s = a_t = 0$，$2 < r < s < t$，且 $a_1 = 1$，$a_2 = 2$，求 $a_{r+1} + a_{s+1} + a_{t+1}$ 的最大值．

21．定义 $R_{p}$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}:$ 对实数 $p$ ，满足：①$a_{1}+p \geq 0, a_{2}+p=0$ ；②$\forall n \in N^{*}, a_{4 n-1}<a_{4 n}$ ；③ $a_{m+n} \in\left\{a_{m}+a_{n}+p, a_{m}+a_{n}+p+1\right\}, \quad m, n \in N^{*}$.
（1）对于前 4 项 $2,-2,0,1$ 的数列，可以是 $R_{2}$ 数列吗？说明理由；
（2）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 是 $R_{0}$ 数列，求 $a_{5}$ 的值；
（3）是否存在 $p$ ，使得存在 $R_{p}$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，对 $\forall n \in N^{*}, S_{n} \geq S_{10}$ ？若存在，求出所有这样的 $p$ ；若不存在，说明理由。

12．0－
1周期序列在通信技术中有着重要应用。若序列 $a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \cdots$ 满足 $a_{i} \in\{0,1\}(i=1,2, \cdots)$ ，且存在正整数 $m$ ，使得 $a_{i+m}=a_{i}(i=1,2, \cdots)$ 成立，则称其为 $0-$

1 周期序列，并称满足 $a_{i+m}=a_{i}(i=1,2, \cdots)$ 的最小正整数 $m$ 为这个序列的周期。对于周期为 $m$ 的 0－

1 序列 $a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \cdots, C(k)=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} a_{i} a_{i+k}(k=1,2, \cdots, m-1)$ 是描述其性质的重要指标，下列周期为 5 的 $0-1$ 序列中，满足 $C(k) \leq \frac{1}{5}(k=1,2,3,4)$ 的序列是

20．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}\left(n \in N^{*}\right)$ 的首项 $a_{1}=1$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．设 $\lambda$ 与 $k$ 是常数，若对一切正整数 $n$ ，均有 $S_{n+1}{ }^{\frac{1}{k}}-S_{n}{ }^{\frac{1}{k}}=\lambda a_{n+1}{ }^{\frac{1}{k}}$ 成立，则称此数列为＂$\lambda-k$＂数列．
（1）若等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$\lambda-1$＂数列，求 $\lambda$ 的值；
（2）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$\frac{\sqrt{3}}{3}-2$＂数列，且 $a_{n}>0$ ，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（3）对于给定的 $\lambda$ ，是否存在三个不同的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为＂$\lambda-$
3＂数列，且 $a_{n} \geq 0$ ？若存在，求 $\lambda$ 的取值范围；若不存在，说明理由，

数学 II（附加题）

【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．［选修4－2：矩阵与变换］

20．（本小满分 16 分）
定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为＂M一数列＂。
（1）已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ 满足：$a_{2} a_{4}=a_{5}, a_{3}-4 a_{2}+4 a_{1}=0$ ，求证：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为＂ M 一数列＂
（2）已知数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足：$b_{1}=1, \frac{1}{S_{n}}=\frac{2}{b_{n}}-\frac{2}{b_{n+1}}$ ，其中 $S_{n}$ 为数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．
（1）求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $m$ 为正整数，若存在＂M一数列＂$\left\{c_{n}\right\}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ，对任意正整数 $k$ ，当 $k \leqslant m$ 时，都有 $c_{k} \leq b_{k} \leq c_{k+1}$成立，求 $m$ 的最大值．

数学 II（附加题）

20．（13 分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，从中选取第 $i_{1}$ 项、第 $i_{2}$ 项、⋯、第 $i_{m}$ 项 $\left(i_{1}<i_{2}<\cdots<i_{m}\right)$ ，若 $a \mathrm{i}_{1}<a \mathrm{i}_{2}<\cdots<a \mathrm{i}_{\mathrm{m}}$ ，则称新数列 $a \mathrm{i}_{1}, a \mathrm{i}_{2}, \cdots, a \mathrm{i}_{\mathrm{m}}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的长度为 $m$ 的递增子列。规定：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的任意一项都是 $\left\{a_{n}\right\}$ 的长度为 1 的递增子列．
（I）写出数列 $1,8,3,7,5,6,9$ 的一个长度为 4 的递增子列；
（II）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的长度为 $p$ 的递增子列的末项的最小值为 $a \mathrm{~m}_{0}$ ，长度为 $q$ 的递增子列的末项的最小值为 $a \mathrm{n}_{0}$ ．若 $p<q$ ，求证：$a \mathrm{~m}_{0}<a \mathrm{n}_{0}$ ；
（III）设无穷数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若 $\left\{a_{n}\right\}$ 的长度为 $s$ 的递增子列末项的最小值为 $2 s-1$ ，且长度为 $s$ 末项为 $2 s-1$ 的递增子列恰有 $2^{s-1}$ 个 $(s=1$ ， $2, \cdots)$ ，求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式．

19．（16 分）对于给定的正整数 $k$ ，若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足： $a_{n-k}+a_{n-k+1}+\ldots+a_{n-1}+a_{n+1}+\ldots+a_{n+k-1}+a_{n+k}=2 k a_{n}$ 对任意正整数 $n ~(n>k) ~$ 总成立，则称数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂P（k）数列＂．
（1）证明：等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是＂$p$③数列＂；
（2）若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 既是＂$P(2)$ 数列＂，又是＂$P(3)$ 数列＂，证明：$\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列．

6．（5 分）（2016•浙江）如图，点列 $\left\{\mathrm{A}_{n}\right\} ,\left\{\mathrm{~B}_{n}\right\}$ 分别在某锐角的两边上，且 $\left|A_{n} A_{n+1}\right|=\left|A_{n+1} A_{n+2}\right|, A_{n} \neq A_{n+1}, n \in N^{*},\left|B_{n} B_{n+1}\right|=\left|B_{n+1} B_{n+2}\right|, B_{n} \neq B_{n+1}, n \in N^{*}, ~(P \neq Q$ 表示点P与 $Q$ 不重合）若 $d_{n}=\left|A_{n} B_{n}\right|, S_{n}$ 为 $\triangle A_{n} B_{n} B_{n+1}$ 的面积，则（）

12．（5分）定义＂规范01数列＂$\left\{a_{n}\right\}$ 如下：$\left\{a_{n}\right\}$ 共有 $2 m$ 项，其中 $m$ 项为 0 ，$m$ 项为 1 ，且对任意 $k \leq 2 m, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}$ 中 0 的个数不少于 1 的个数，若 $m=4$ ，则不同的＂规范01数列＂共有

22．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分6分。

对于无穷数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$，记 $A=\left\{x \mid x=a_{n}, n \in \mathbf{N}^{*}\right\}, B=\left\{x \mid x=b_{n}, n \in \mathbf{N}^{*}\right\}$，若同时满足条件：①$\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 均单调递增；②$A \cap B=\varnothing$ 且 $A \cup B=\mathbf{N}^{*}$，则称 $\left\{a_{n}\right\}$与 $\left\{b_{n}\right\}$ 是无穷互补数列．
（1）若 $a_{n}=2 n-1, b_{n}=4 n-2$，判断 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 是否为无穷互补数列，并说明理由；

（2）若 $a_{n}=2^{n}$ 且 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 是无穷互补数列，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 16 项的和；
（3）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 是无穷互补数列，$\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列且 $a_{16}=36$，求 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式。

23．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分。

若无穷数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足：只要 $a_{p}=a_{q}\left(p, q \in \mathrm{~N}^{*}\right)$，必有 $a_{p+1}=a_{q+1}$，则称 $\left\{a_{n}\right\}$ 具有性质 P。
（1）若 $\left\{a_{n}\right\}$ 具有性质 P，且 $a_{1}=1, a_{2}=2, a_{4}=3, a_{5}=2, a_{6}+a_{7}+a_{8}=21$，求 $a_{3}$；
（2）若无穷数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列，无穷数列 $\left\{c_{n}\right\}$ 是公比为正数的等比数列，$b_{1}=c_{5}=1$， $b_{5}=c_{1}=81, a_{n}=b_{n}+c_{n}$，判断 $\left\{a_{n}\right\}$ 是否具有性质 P，并说明理由；
③设 $\left\{b_{n}\right\}$ 是无穷数列，已知 $a_{n+1}=b_{n}+\sin a_{n}\left(n \in \mathrm{~N}^{*}\right)$。求证：＂对任意 $a_{1},\left\{a_{n}\right\}$ 都具有性质 P ＂的充要条件为＂$\left\{b_{n}\right\}$ 是常数列＂．

5．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入。若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 $12 \%$ ，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 （参考数据： $\lg 1.12 \approx 0.05, \lg 1.3 \approx 0.11, \lg 2 \approx 0.30$ ）

6．（5 分）（2016•浙江）如图，点列 $\left\{\mathrm{A}_{\mathrm{n}}\right\} ,\left\{\mathrm{~B}_{\mathrm{n}}\right\}$ 分别在某锐角的两边上，且 $\left|A_{n} A_{n+1}\right|=\left|A_{n+1} A_{n+2}\right|, A_{n} \neq A_{n+1}, n \in N^{*},\left|B_{n} B_{n+1}\right|=\left|B_{n+1} B_{n+2}\right|, B_{n} \neq B_{n+1}, n \in N^{*}, ~(P \neq Q$ 表示点P与 $Q$ 不重合）若 $d_{n}=\left|A_{n} B_{n}\right|, S_{n}$ 为 $\triangle A_{n} B_{n} B_{n+1}$ 的面积，则（）

8．（5 分）（2016•浙江）如图，点列 $\left\{A_{n}\right\} ,\left\{B_{n}\right\}$ 分别在某锐角的两边上，且 $\left|A_{n} A_{n+1}\right|=\left|A_{n+1} A_{n+2}\right|$ ， $A_{n} \neq A_{n+1}, n \in N^{*},\left|B_{n} B_{n+1}\right|=\left|B_{n+1} B_{n+2}\right|, B_{n} \neq B_{n+1}, n \in N^{*}, ~(P \neq Q$ 表示点 $P$ 与 $Q$ 不重合）若 $d_{n}=\left|A_{n} B_{n}\right|, S_{n}$ 为 $\triangle A_{n} B_{n} B_{n+1}$ 的面积，则

17．（12分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n+1}=3 a_{n}+1$ ．
（I）证明 $\left\{a_{n}+\frac{1}{2}\right\}$ 是等比数列，并求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）证明：$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{n}}<\frac{3}{2}$ ．

19．（本小题满分 14 分）

设各项均为正数的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n}$ 满足 $S_{n}^{2}-\left(n^{2}+n-3\right) S_{n}-3\left(n^{2}+n\right)=0, n \in N^{*}$ ．
（1）求 $a_{1}$ 的值；
（2）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（3）证明：对一切正整数 $n$ ，有 $\frac{1}{a_{1}\left(a_{1}+1\right)}+\frac{1}{a_{2}\left(a_{2}+1\right)}+\cdots \frac{1}{a_{n}\left(a_{n}+1\right)}<\frac{1}{3}$ ．

18．（本小题满分 12 分）
已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left(\mathrm{x}^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{b}\right) \sqrt{1-2 \mathrm{x}}(\mathrm{b} \in \mathrm{R})$ ．
（1）当 $b=4$ 时，求 $f(x)$ 的极值；
（2）若 $f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{1}{3}\right)$ 上单调递增，求 $b$ 的取值范围．

22．（本小题满分 12 分，（I）小问 4 分，（II）小问 8 分）
设 $a_{1}=1, a_{n+1}=\sqrt{a_{n}^{2}-2 a_{n}+2}+b\left(n \in N^{*}\right)$
（I）若 $b=1$，求 $a_{2}, a_{3}$ 及数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）若 $b=-1$，问：是否存在实数 $c$ 使得 $a_{2 n}<c<a_{2 n+1}$ 对所有 $n \in N^{*}$ 成立？证明你的结论．

12．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，若 $a_{1}+1, a_{3}+3, a_{5}+5$ 构成公比为 $q$ 的等比数列，则 $q=$
$\_\_\_\_$．

17．（本小题满分 12 分）

在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的对边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ 。已知 $A=\frac{\pi}{4}$ ，
$b \sin \left(\frac{\pi}{4}+C\right)-c \sin \left(\frac{\pi}{4}+B\right)=a$
（1）求证：$B-C=\frac{\pi}{2}$（2）若 $\mathrm{a}=\sqrt{2}$ ，求 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的面积。

20．（本小题共13分）
若数列 $A_{n}: a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}(n \geq 2)$ 满足 $\left|a_{k+1}-a_{k}\right|=1(k=1,2, \cdots, n-1)$ ，则称 $A_{n}$ 为 $E$ 数列，记 $S\left(A_{n}\right)=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$.
（I）写出一个E数列 $\mathrm{A}_{5}$ 满足 $a_{1}=a_{3}=0$ ；
（II）若 $a_{1}=12, \mathrm{n}=2000$ ，证明：E数列 $A_{n}$ 是递增数列的充要条件是 $a_{n}=2011$ ；
（III）在 $a_{1}=4$ 的 E 数列 $A_{n}$ 中，求使得 $S\left(A_{n}\right)=0$ 成立得 n 的最小值．

8．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项为 $3,\left\{b_{n}\right\}$ 为等差数列且 $b_{n}=a_{n+1}-a_{n}\left(n \in N^{*}\right)$ ．若则 $b_{3}=-2$ ， $b_{10}=12$ ，则 $a_{8}=$

22．（12分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{n+1}=c-\frac{1}{a_{n}}$ ．
（I）设 $\mathrm{c}=\frac{5}{2}, \mathrm{~b}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}-2}$ ，求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（II）求使不等式 $a_{n}<a_{n+1}<3$ 成立的 $c$ 的取值范围．

20．（12分）（2008•四川）设数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 n 项和为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ ，已知 $\mathrm{ba}_{\mathrm{n}}-2^{\mathrm{n}}=(\mathrm{b}-1) \mathrm{S}_{\mathrm{n}}$
（I）证明：当 $b=2$ 时，$\left\{a_{n}-n \cdot 2^{n-1}\right\}$ 是等比数列；
（II）求 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式。