（本小题满分 14 分） 已知函数 f(x)=A sin…——2010 高考数学第 15 题答案解析

（1）由函数 $f(x)=A \sin (3 x+\varphi)$ 可知，角频率 $\omega=3$。
根据周期公式 $T=\frac{2 \pi}{|\omega|}$，可得最小正周期：
$$ T=\frac{2 \pi}{3} $$

（2）因为 $A>0$，且函数在 $x=\frac{\pi}{12}$ 时取得最大值 4，所以振幅 $A=4$。
此时相位满足：
$$ 3 \times \frac{\pi}{12} + \varphi = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} $$
即：
$$ \frac{\pi}{4} + \varphi = \frac{\pi}{2} + 2k\pi $$
解得：
$$ \varphi = \frac{\pi}{4} + 2k\pi $$
又因为 $0 < \varphi < \pi$，取 $k=0$，得 $\varphi = \frac{\pi}{4}$。
所以函数的解析式为：
$$ f(x)=4 \sin \left(3 x+\frac{\pi}{4}\right) $$

（3）将 $x = \frac{2}{3} \alpha+\frac{\pi}{12}$ 代入解析式：
$$ f\left(\frac{2}{3} \alpha+\frac{\pi}{12}\right) = 4 \sin \left[ 3\left(\frac{2}{3} \alpha+\frac{\pi}{12}\right) + \frac{\pi}{4} \right] $$
化简括号内的项：
$$ 3\left(\frac{2}{3} \alpha+\frac{\pi}{12}\right) + \frac{\pi}{4} = 2\alpha + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 2\alpha + \frac{\pi}{2} $$
由题设 $f\left(\frac{2}{3} \alpha+\frac{\pi}{12}\right)=\frac{12}{5}$，可得：
$$ 4 \sin \left( 2\alpha + \frac{\pi}{2} \right) = \frac{12}{5} $$
$$ \sin \left( 2\alpha + \frac{\pi}{2} \right) = \frac{3}{5} $$
利用诱导公式 $\sin(\frac{\pi}{2} + \theta) = \cos \theta$，得：
$$ \cos 2\alpha = \frac{3}{5} $$
再利用二倍角公式 $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$，有：
$$ 1 - 2\sin^2 \alpha = \frac{3}{5} $$
$$ 2\sin^2 \alpha = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} $$
$$ \sin^2 \alpha = \frac{1}{5} $$
解得：
$$ \sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{5}}{5} $$