（不等式选讲选做题）已知 a R，若关于x的方程 x ^…——2008 高考数学第 14 题答案解析

由方程 $x^2 + x + |a - \frac{1}{4}| + |a| = 0$ 有实根，可变形为：
$$|a - \frac{1}{4}| + |a| = -x^2 - x$$

首先分析等式右边关于 $x$ 的函数值域。
令 $f(x) = -x^2 - x = -(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}$。
因为二次项系数为负，抛物线开口向下，当 $x = -\frac{1}{2}$ 时取得最大值 $\frac{1}{4}$。
又因为方程有实根，即存在实数 $x$ 使得等式成立，所以等式左边的常数必须落在 $f(x)$ 的值域内。
显然 $-x^2-x$ 可以取到 $(-\infty, \frac{1}{4}]$ 之间的任意值，但注意到左边 $|a - \frac{1}{4}| + |a|$ 是两个绝对值之和，恒非负。
因此，我们需要满足：
$$0 \le |a - \frac{1}{4}| + |a| \le \frac{1}{4}$$

接下来求解不等式 $|a - \frac{1}{4}| + |a| \le \frac{1}{4}$。
根据绝对值的几何意义，$|a - \frac{1}{4}| + |a|$ 表示数轴上点 $a$ 到点 $\frac{1}{4}$ 和点 $0$ 的距离之和。
两点 $0$ 与 $\frac{1}{4}$ 之间的距离恰好为 $\frac{1}{4}$。
根据三角不等式（或几何直观），当且仅当点 $a$ 位于 $0$ 和 $\frac{1}{4}$ 之间（包括端点）时，距离之和最小，最小值为 $\frac{1}{4}$。
若 $a$ 在区间 $[0, \frac{1}{4}]$ 之外，则距离之和严格大于 $\frac{1}{4}$。

具体代数推导如下：
1. 当 $a < 0$ 时：
$|a - \frac{1}{4}| + |a| = (\frac{1}{4} - a) + (-a) = \frac{1}{4} - 2a$。
由 $\frac{1}{4} - 2a \le \frac{1}{4}$ 得 $-2a \le 0 \Rightarrow a \ge 0$，与 $a < 0$ 矛盾，无解。

2. 当 $0 \le a \le \frac{1}{4}$ 时：
$|a - \frac{1}{4}| + |a| = (\frac{1}{4} - a) + a = \frac{1}{4}$。
此时 $\frac{1}{4} \le \frac{1}{4}$ 恒成立。故 $0 \le a \le \frac{1}{4}$ 是解集的一部分。

3. 当 $a > \frac{1}{4}$ 时：
$|a - \frac{1}{4}| + |a| = (a - \frac{1}{4}) + a = 2a - \frac{1}{4}$。
由 $2a - \frac{1}{4} \le \frac{1}{4}$ 得 $2a \le \frac{1}{2} \Rightarrow a \le \frac{1}{4}$，与 $a > \frac{1}{4}$ 矛盾，无解。

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $[0, \frac{1}{4}]$。