已知双曲线 C 的中心为坐标原点，左焦点为 (-2 5 ,…——2023 高考数学第 21 题答案解析

(1) 设双曲线为 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\ (a>0,b>0)$。左焦点为 $(-2\sqrt5,0)$，故 $c=2\sqrt5$。由离心率
\[ e=\frac ca=\sqrt5 \]
得 $a=2$，于是
\[ b^{2}=c^{2}-a^{2}=20-4=16. \]
所以双曲线方程为
\[ \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1. \]

(2) 由 (1) 知 $A_1(-2,0)$，$A_2(2,0)$。过点 $(-4,0)$ 的直线不可能是 $x$ 轴，否则不能与左支交于两点，故可设为
\[ x=my-4. \]
设 $M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$。代入双曲线方程：
\[ \frac{(my-4)^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1, \]
整理得
\[ (4m^2-1)y^2-32my+48=0. \]
因为直线与左支交于两点，所以 $4m^2-1\ne0$。由韦达定理，
\[ y_1+y_2=\frac{32m}{4m^2-1},\qquad y_1y_2=\frac{48}{4m^2-1}. \]

又 $x_i=my_i-4$，所以
\[ x_1+2=my_1-2,\qquad x_2-2=my_2-6. \]
直线 $MA_1$ 的斜率
\[ k_1=\frac{y_1}{x_1+2}=\frac{y_1}{my_1-2}, \]
直线 $NA_2$ 的斜率
\[ k_2=\frac{y_2}{x_2-2}=\frac{y_2}{my_2-6}. \]
计算
\[ k_1+3k_2 =\frac{y_1(my_2-6)+3y_2(my_1-2)}{(my_1-2)(my_2-6)} =\frac{4my_1y_2-6(y_1+y_2)}{(my_1-2)(my_2-6)}. \]
代入韦达定理：
\[ 4my_1y_2-6(y_1+y_2) =4m\cdot\frac{48}{4m^2-1}-6\cdot\frac{32m}{4m^2-1}=0. \]
故
\[ k_1+3k_2=0, \]
即 $k_1=-3k_2$。

设 $P(X,Y)$。因为 $P$ 在 $MA_1$ 与 $NA_2$ 上，所以
\[ Y=k_1(X+2)=k_2(X-2). \]
由 $k_1=-3k_2$ 且 $k_2\ne0$，得
\[ -3(X+2)=X-2, \]
解得
\[ X=-1. \]
因此点 $P$ 的横坐标恒为 $-1$，即点 $P$ 在定直线 $x=-1$ 上。