19、（本小题满分 12 分）
如图，在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C$ 中，侧棱 $A A_{1} \perp$ 底面 $A B C, A B=A C=2 A A_{1}=2$， $\angle B A C=120^{\circ}, D, D_{1}$ 分别是线段 $B C, B_{1} C_{1}$ 的中点，$P$是线段 $A D$ 上异于端点的点。
（I）在平面 $A B C$ 内，试作出过点 $P$ 与平面 $A_{1} B C$平行的直线 $l$，说明理由，并证明直线 $l \perp$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$；
（II）设（I）中的直线 $l$ 交 $A C$ 于点 $Q$，求三棱锥
$A_{1}-Q C_{1} D$ 的体积．（锥体体积公式：$V=\frac{1}{3} S h$，其中 $S$ 为底面面积，$h$ 为高）
Answer key
（I）在平面 $A B C$ 内，过点 $P$ 作直线 $l / / B C$；（II）$\frac{\sqrt{3}}{6}$．