（12分）如图，三棱柱 A B C - A _ 1 B _…——2012 高考数学第 19 题答案解析

（Ⅰ）证明：
由题意知，侧棱 $AA_1 \perp$ 底面 $ABC$，且 $\angle ACB = 90^\circ$。
$\because BC \perp AC$，且 $BC \perp CC_1$（侧棱垂直底面），$AC \cap CC_1 = C$，
$\therefore BC \perp$ 平面 $ACC_1A_1$。
又 $\because DC_1 \subset$ 平面 $ACC_1A_1$，
$\therefore BC \perp DC_1$。

设 $AC = BC = a$，则 $AA_1 = 2a$。
$\because D$ 是 $AA_1$ 的中点，$\therefore AD = A_1D = a$。
在矩形 $ACC_1A_1$ 中，
$\triangle ADC$ 为等腰直角三角形，$\angle ADC = 45^\circ$；
$\triangle A_1DC_1$ 为等腰直角三角形，$\angle A_1DC_1 = 45^\circ$。
$\therefore \angle CDC_1 = 180^\circ - \angle ADC - \angle A_1DC_1 = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ$，
即 $DC \perp DC_1$。

又 $\because BC \cap DC = C$，$BC, DC \subset$ 平面 $BDC$，
$\therefore DC_1 \perp$ 平面 $BDC$。
又 $\because DC_1 \subset$ 平面 $BDC_1$，
$\therefore$ 平面 $BDC_1 \perp$ 平面 $BDC$。

（Ⅱ）解：
不妨设 $AC = BC = 1$，则 $AA_1 = 2$。
三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的体积为：
$V_{\text{柱}} = S_{\triangle ABC} \cdot AA_1 = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 \times 2 = 1$。

平面 $BDC_1$ 将棱柱分为两部分，其中一部分为四棱锥 $B-ACC_1D$（即以梯形 $ACC_1D$ 为底，点 $B$ 为顶点的棱锥）。
该四棱锥的底面是直角梯形 $ACC_1D$，其面积为：
$S_{\text{梯形}ACC_1D} = \frac{(AD + CC_1) \cdot AC}{2} = \frac{(1 + 2) \times 1}{2} = \frac{3}{2}$。
该四棱锥的高即为点 $B$ 到平面 $ACC_1A_1$ 的距离。
由（Ⅰ）知 $BC \perp$ 平面 $ACC_1A_1$，故高 $h = BC = 1$。
$\therefore$ 四棱锥 $B-ACC_1D$ 的体积为：
$V_1 = \frac{1}{3} S_{\text{梯形}ACC_1D} \cdot h = \frac{1}{3} \times \frac{3}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$。

另一部分的体积为：
$V_2 = V_{\text{柱}} - V_1 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。

故这两部分体积的比为 $V_1 : V_2 = \frac{1}{2} : \frac{1}{2} = 1:1$。