已知 a, b, c 均为正数，且 a^ 2 +b^ 2…——2022 高考数学第 23 题答案解析

（1）由柯西不等式可得：
$$ (a^2+b^2+(2c)^2)(1^2+1^2+1^2) \ge (a\cdot 1 + b\cdot 1 + 2c\cdot 1)^2 $$
即
$$ 3(a^2+b^2+4c^2) \ge (a+b+2c)^2 $$
因为 $a^2+b^2+4c^2=3$，所以
$$ 9 \ge (a+b+2c)^2 $$
又因为 $a,b,c$ 均为正数，故 $a+b+2c > 0$，开方得：
$$ a+b+2c \le 3 $$
当且仅当 $\frac{a}{1}=\frac{b}{1}=\frac{2c}{1}$，即 $a=b=2c=1$ 时等号成立。

（2）因为 $b=2c$，代入已知条件 $a^2+b^2+4c^2=3$ 中，得：
$$ a^2 + (2c)^2 + 4c^2 = 3 \implies a^2 + 8c^2 = 3 $$
由第（1）问结论可知，当 $b=2c$ 时：
$$ a+b+2c = a+2c+2c = a+4c \le 3 $$
因为 $a,c > 0$，所以 $a+4c > 0$，故有：
$$ \frac{1}{a+4c} \ge \frac{1}{3} $$
对于 $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$，利用柯西不等式（或权方和不等式）变形如下：
$$ \frac{1}{a}+\frac{1}{c} = \frac{1^2}{a} + \frac{2^2}{4c} $$
由柯西不等式 $\left(\frac{1^2}{a} + \frac{2^2}{4c}\right)(a+4c) \ge (1+2)^2$，可得：
$$ \frac{1}{a}+\frac{1}{c} \ge \frac{(1+2)^2}{a+4c} = \frac{9}{a+4c} $$
结合 $\frac{1}{a+4c} \ge \frac{1}{3}$，即 $\frac{9}{a+4c} \ge 3$，所以：
$$ \frac{1}{a}+\frac{1}{c} \ge 3 $$
当且仅当 $\frac{1}{a} = \frac{2}{4c}$ 且 $a+4c=3$ 时取等号。
由 $\frac{1}{a} = \frac{1}{2c} \implies a=2c$，代入 $a+4c=3$ 得 $6c=3 \implies c=\frac{1}{2}$，此时 $a=1, b=1$。
检验约束条件：$1^2+1^2+4(\frac{1}{2})^2 = 1+1+1=3$，符合题意。
故 $\frac{1}{a}+\frac{1}{c} \ge 3$ 成立。