基本不等式　·　历年高考数学真题与解析

7. $( x + { \frac { 1 } { x } } ) ( x + { \frac { 4 } { x } } )$ 的最小值为()

6. 已知 $a > 0 , b > 0$ ,则 （）

8．设 $a, b>0, a+\frac{1}{b}=1$ ，则 $b+\frac{1}{a}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$。

8. 设 $a , b > 0 , a + \frac { 1 } { b } = 1$ ,则 $b + { \frac { 1 } { a } }$ 的最小值为

9．已知 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 是函数 $y=2^{x}$ 图象上不同的两点，则下列正确的是（）

12．已知球 $O$ 的半径为 1 ，四棱锥的顶点为 $O$ ，底面的四个顶点均在球 $O$ 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）

12．已知 $9^{m}=10, a=10^{m}-11, b=8^{m}-9$ ，则（ ）

23．已知 $a, b, c$ 均为正数，且 $a^{2}+b^{2}+4 c^{2}=3$ ，证明：
①$a+b+2 c \leq 3$ ；
（2）若 $b=2 c$ ，则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{c} \geq 3$ ．

23．已知 $a, b, c$ 均为正数，且 $a^{2}+b^{2}+4 c^{2}=3$ ，证明：
①$a+b+2 c \leq 3$ ；
（2）若 $b=2 c$ ，则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{c} \geq 3$ ．

23．已知 $a, b, \mathrm{c}$ 都是正数，且 $a^{\frac{3}{2}}+b^{\frac{3}{2}}+c^{\frac{3}{2}}=1$ ，证明：
①$a b c \leq \frac{1}{9}$ ；
②$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b} \leq \frac{1}{2 \sqrt{a b c}}$ ；

13．若 $a>0, b>0$ ，则 $\frac{1}{a}+\frac{a}{b^{2}}+b$ 的最小值为

8．下列函数中最小值为4的是（ ）

8．已知函数 $f(x)=3^{x}+\frac{a}{3^{x}+1}(a>0)$ 的最小值为 5 ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ 9。

【思路分析】利用基本不等式求最值需要满足＂一正、二定、三相等＂，该题只需将函数解析式变形成 $f(x)=3^{x}+1+\frac{a}{3^{x}+1}-1$ ，然后利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件。

8.

已知 $\alpha, \beta, \gamma$ 是互不相同的锐角，则在 $\sin \alpha \cos \beta, \sin \beta \cos \gamma, \sin \gamma \cos \alpha$ 三个值中，大于 $\frac{1}{2}$ 的个数的最大值是（ ）

11．已知 $a>0, b>0$ ，且 $a+b=1$ ，则（ ）

11．已知 $a>0, b>0$ ，且 $a+b=1$ ，则

12．已知 $5^{5}<8^{4}, 13^{4}<8^{5}$ ．设 $a=\log _{5} 3, b=\log _{8} 5, c=\log _{13} 8$ ，则

12．已知 $5 x^{2} y^{2}+y^{4}=1(x, y \in R)$ ，则 $x^{2}+y^{2}$ 的最小值是 $\_\_\_\_$ ．

17．$\triangle A B C$ 中， $\sin ^{2} A-\sin ^{2} B-\sin ^{2} C=\sin B \sin C$ ．
（1）求 $A$ ；
（2）若 $B C=3$ ，求 $\triangle A B C$ 周长的最大值．

23．设 $a, b, c \in R, a+b+c=0, a b c=1$ ．

（1）证明：$a b+b c+c a<0$ ；
（2）用max $\{a, b, c\}$ 表示 $a, b, c$ 中的最大值，证明： $\max \{a, b, c\} \geq \sqrt[3]{4}$ ．

13．设 $x>0, y>0, x+2 y=4$ ，则 $\frac{(x+1)(2 y+1)}{x y}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

23．［选修4－5：不等式选讲］
已知 $a, b, c$ 为正数，且满足 $a b c=1$ ．证明：
①$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$ ；
②$(a+b)^{3}+(b+c)^{3}+(c+a)^{3} \geq 24$ ．

23．设 $x, y, z \in R$ ，且 $x+y+z=1$ ．
（1）求 $(x-1)^{2}+(y+1)^{2}+(z+1)^{2}$ 的最小值；
（2）若 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}+(z-a)^{2} \geq \frac{1}{3}$ 成立，证明：$a \leqslant-3$ 或 $a \geq-1$ ．

10．（5分）某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元／次，一年的总存储费用为 4 x 万元。要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x的值是 $\_\_\_\_$。

13．（5分）若a，$b \in R, a b>0$ ，则 $\frac{a^{4}+4 b^{4}+1}{a b}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

10．设 $a>0, b>0$ ．若关于 $x, y$ 的方程组 $\left\{\begin{array}{l}a x+y=1 \\ x+b y=1\end{array}\right.$ ，无解，则 $a+b$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$
$\_\_\_\_$ ．

13．设 $a>0, b>0$ ．若关于 $x, y$ 的方程组 $\left\{\begin{array}{l}a x+y=1 \\ x+b y=1\end{array}\right.$ ，无解，则 $a+b$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

14．设 $a, b>0, a+b=5$ ，则 $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3}$ 的最大值为 $\_\_\_\_$ ．

14．如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 M 在线段 PQ 上， $\mathrm{E}, \mathrm{~F}$ 分别为 $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}$ 的中点。设异面直线 EM 与 AF 所成的角为 $\theta$，则 $\cos \theta$ 的最大值为 $\_\_\_\_$．

24．选修 4－5：不等式选讲
已知关于 $x$ 的不等式 $|x+a|<b$ 的解集为 $\{x \mid 2<x<4\}$
（I）求实数 $a, b$ 的值；
（II）求 $\sqrt{a t+12}+\sqrt{b t}$ 的最大值．

5．若直线 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1(a>0, b>0)$ 过点 $(1,1)$ ，则 $a+b$ 的最小值等于

7、若实数 $a, b$ 满足 $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\sqrt{a b}$，则 $a b$ 的最小值为

9、设实数 $x, y$ 满足 $\left\{\begin{array}{l}2 x+y \leq 10 \\ x+2 y \leq 14 \\ x+y \geq 6\end{array}\right.$ 则 $x y$ 的最大值为（ ）

9．已知 $\overrightarrow{A B} \perp \overrightarrow{A C},|\overrightarrow{A B}|=\frac{1}{t},|\overrightarrow{A C}|=t$ ，若 $P$ 点是 $\triangle A B C$ 所在平面内一点，且 $\overrightarrow{A P}=\frac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|}+\frac{4 \overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}|}$ ，则 $\overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{P C}$ 的最大值等于

9．如果函数 $f(x)=\frac{1}{2}(m-2) x^{2}+(n-8) x+1(m \geq 0, n \geq 0)$ 在区间 $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ 上单调递减，则 $m n$ 的最大值为

20．（本小题满分 12 分）
圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 的切线与 x 轴正半轴， y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 P （如图）．
（ I ）求点 P 的坐标；

（II）焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P ，且与直线 $l: y=x+\sqrt{3}$ 交于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，若 $\triangle P A B$ 的面积为 2 ，求 C的标准方程。

24．若 $a>0, b>0$ ，且 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\sqrt{a b}$ ．
（I）求 $a^{3}+b^{3}$ 的最小值；
（II）是否存在 $a$ ，$b$ ，使得 $2 a+3 b=6$ ？并说明理由．

24．若 $a>0, b>0$ ，且 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\sqrt{a b}$ ．
（I）求 $a^{3}+b^{3}$ 的最小值；
（II）是否存在 $a$ ，$b$ ，使得 $2 a+3 b=6$ ？并说明理由．

（6）【2014年上海，文6，5分】若实数 $x, y$ 满足 $x y=1$ ，则 $x^{2}+2 y^{2}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$。

9．若 $\log _{4}(3 a+4 b)=\log _{2} \sqrt{a b}$ ，则 $a+b$ 的最小值是 $\quad()$

9．要制作一个容积为 $4 m^{3}$ ，高为 1 m 的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是

10．已知 $a, b, c \in, a+2 b+3 c=6$，则 $a^{2}+4 b^{2}+9 c^{2}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$．

12、设正实数 $x, y, z$ 满足 $x^{2}-3 x y+4 y^{2}-z=0$ ．则当 $\frac{x y}{z}$ 取得最大值时，$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}-\frac{2}{z}$ 的最大值为

13、已知函数 $f(x)=4 x+\frac{a}{x} \quad(x>0, a>0)$ 在 $x=3$ 时取得最小值，则 $a=$ $\_\_\_\_$．

14．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长 x

为 $\_\_\_\_$ （m）

24．（14分）【选修4－－5；不等式选讲】
设 $a, b, c$ 均为正数，且 $a+b+c=1$ ，证明：
（I）$a b+b c+c a \leqslant \frac{1}{3}$
（II）$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a} \geqslant 1$ ．

24．【选修4－－5；不等式选讲】
设 $a, b$ ，c均为正数，且 $a+b+c=1$ ，证明：
（I）$a b+b c+c a \leqslant \frac{1}{3}$
（II）$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a} \geqslant 1$ ．

（3）$\sqrt{(3-a)(a+6)}(-6 \leq a \leq 3)$ 的最大值为

7．若 $2^{x}+2^{y}=1$，则 $x+y$ 的取值范围是

（11）若 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x \geq 0 \\ x+2 y \geq 3 \\ 2 x+y \leq 3\end{array}\right.$ ，则 $x-y$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$。

17．（本小题满分 14 分）
如图，建立平面直角坐标系 $x O y, x$ 轴在地平面上，$y$ 轴垂直于地平面，单位长度为 1 千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 $y=k x-\frac{1}{20}\left(1+k^{2}\right) x^{2}(k>0)$ 表示的曲线上，其中 $k$ 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
②设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标 $a$ 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

5．下列不等式一定成立的是

6．设 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ 是正数，且 $\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}=10, \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+\mathrm{z}^{2}=40, \mathrm{ax}+\mathrm{by}+\mathrm{cz}=20$ ，则 $\frac{a+b+c}{x+y+z}=($

A．$\frac{1}{4}$
B．$\frac{1}{3}$
C．$\frac{1}{2} \mathrm{D}, \frac{3}{4}$

10．（5 分）（2011•湖南）设 $x, y \in R$ ，且 $x y \neq 0$ ，则 $\left(x^{2}+\frac{1}{y^{2}}\right)\left(\frac{1}{x^{2}}+4 y^{2}\right)$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

12．已知 $\log _{2} a+\log _{2} b \geq 1$ ，则 $3^{a}+9^{b}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$

16．（4分）（2011 •浙江）若实数 $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ 满足 $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+\mathrm{xy}=1$ ，则 $\mathrm{x}+\mathrm{y}$ 的最大值是 $-\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ —。

16、（2011 • 浙江）设 $x, y$ 为实数，若 $4 x^{2}+y^{2}+x y=1$ ，则 $2 x+y$ 的最大值是 $\_\_\_\_$ $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ ． ．

7．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800 元．若每批生产

x 件，则平均仓储时间为 $\frac{x}{8}$ 天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元．为使平均没见产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品

（5）已知 $a \geq 0, b \geq 0$ ，且 $a+b=2$ ，则

9．若 $0<a_{1}<a_{2}, 0<b_{1}<b_{2}$ ，且 $a_{1}+a_{2}=b_{1}+b_{2}=1$ ，则下列代数式中值最大的是