记 A B C 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,…——2022 高考数学第 17 题答案解析

（1）由已知 $\sin C \sin (A-B)=\sin B \sin (C-A)$，展开两角差的正弦公式：
$$ \sin C(\sin A \cos B-\cos A \sin B)=\sin B(\sin C \cos A-\cos C \sin A) $$
整理得：
$$ \sin C \sin A \cos B-\sin C \cos A \sin B=\sin B \sin C \cos A-\sin B \cos C \sin A $$
移项合并同类项：
$$ \sin A \sin C \cos B+\sin A \sin B \cos C=2 \sin B \sin C \cos A $$
根据正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，将角化为边，即 $\sin A \propto a, \sin B \propto b, \sin C \propto c$。上式等价于：
$$ a c \cos B+a b \cos C=2 b c \cos A $$
由余弦定理 $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}, \cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}, \cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}$，代入上式：
$$ a c \cdot \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}+a b \cdot \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}=2 b c \cdot \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c} $$
化简得：
$$ \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}+\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2}=b^{2}+c^{2}-a^{2} $$
$$ \frac{2 a^{2}}{2}=b^{2}+c^{2}-a^{2} $$
$$ a^{2}=b^{2}+c^{2}-a^{2} $$
即 $2 a^{2}=b^{2}+c^{2}$，得证。

（2）由（1）知 $b^{2}+c^{2}=2 a^{2}$。
因为 $a=5$，所以 $b^{2}+c^{2}=2 \times 5^{2}=50$。
由余弦定理 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$，代入已知数据：
$$ 25=50-2 b c \cdot \frac{25}{31} $$
$$ 2 b c \cdot \frac{25}{31}=25 $$
$$ \frac{2 b c}{31}=1 \implies b c=\frac{31}{2} $$
计算 $(b+c)^{2}$：
$$ (b+c)^{2}=b^{2}+c^{2}+2 b c=50+31=81 $$
因为 $b, c > 0$，所以 $b+c=\sqrt{81}=9$。
$\triangle A B C$ 的周长为 $a+b+c=5+9=14$。