19．（本小题满分 13 分）
设 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前项和，已知 $a_{1} \neq 0,2 a_{n}-a_{1}=S_{1} \bullet S_{n}, n \in \mathbf{N}^{*}$
（I）求 $a_{1}, a_{2}$，并求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）求数列 $\left\{n a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和。
Answer key
（I）令 $n=1$，所以 $a_{1}=a_{1}^{2}$，因为 $a_{1} \neq 0$，所以 $a_{1}=1$；因为 $2 a_{2}-a_{1}=a_{1} \bullet\left(a_{1}+a_{2}\right)$，所以 $a_{2}=2 ; 2 a_{n}-1=S_{n}$，当 $n \geq 2$ 时， $2 a_{n-1}-1=S_{n-1}$，两式对减，$\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=2$，所以 $a_{n}=2^{n-1}$； （II）$n a_{n}=n 2^{n-1}$，记 $\left\{n a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $B_{n}$， $B_{n}=1 \cdot 2^{0}+2 \cdot 2^{1}+3 \cdot 2^{2}+\ldots+n \cdot 2^{n-1}$； $2 B_{n}=1 \cdot 2^{1}+2 \cdot 2^{2}+3 \cdot 2^{3}+\ldots+n \cdot 2^{n}$ 两式对减 $B_{n}=1+(n-1) \cdot 2^{n}$．