错位相减法　·　历年高考数学真题与解析

18．记 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，且 $4 S_{n}=3 a_{n}+4$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $b_{n}=(-1)^{n-1} n a_{n}$ ，求数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．

17．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{2}=1$ ，设 $S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和， $2 S_{n}=n a_{n}$ ．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）求数列 $\left\{\frac{a_{n}+1}{2^{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

18．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列，$\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列，且 $a_{1}=b_{1}=a_{2}-b_{2}=a_{3}-b_{3}=1$ ．

（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
②设 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 n 项和为 $S_{n}$ ，求证：$\left(S_{n+1}+a_{n+1}\right) b_{n}=S_{n+1} b_{n+1}-S_{n} b_{n}$ ；
（3）求 $\sum_{k=1}^{2 n}\left[a_{k+1}-(-1)^{k} a_{k}\right] b_{k}$ ．

16．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为
$20 \mathrm{dm} \times 12 \mathrm{dm}$ 的长方形纸，对折1次共可以得到 $10 \mathrm{dm} \times 12 \mathrm{dm}, ~ 20 \mathrm{dm} \times 6 \mathrm{dm}$ 两种规格的图形，它们的面积之和 $S_{1}=240 \mathrm{dm}^{2}$ ，对折 2 次共可以得到 $5 \mathrm{dm} \times 12 \mathrm{dm}, ~ 10 \mathrm{dm} \times 6 \mathrm{dm}, ~ 20 \mathrm{dm} \times 3 \mathrm{dm}$ 三种规格的图形，它们的面积之和 $S_{2}=180 \mathrm{dm}^{2}$ ，以此类推，则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折 $n$ 次，那么 $\sum_{k=1}^{n} S_{k}= \mathrm{dm}^{2}$ ．

19．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 1 的等比数列，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $b_{n}=\frac{n a_{n}}{3}$ 。已知 $a_{1}, 3 a_{2}, 9 a_{3}$ ，成等差数列．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的通项公式；
（2）记 $S_{n}$ ，和 $T_{n}$ 分别为 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．证明：$T_{n}<\frac{S_{n}}{2}$ ．

17．设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=3, a_{n+1}=3 a_{n}-4 n$ ．
（1）计算 $a_{2}, a_{3}$ ，猜想 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式并加以证明；
（2）求数列 $\left\{2^{n} a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

17．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公比不为 1 的等比数列，$a_{1}$ 为 $a_{2}, a_{3}$ 的等差中项．
（1）求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比；
（2）若 $a_{1}=1$ ，求数列 $\left\{n a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和．

18．（本小题满分 12 分）
已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left(\mathrm{x}^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{b}\right) \sqrt{1-2 \mathrm{x}}(\mathrm{b} \in \mathrm{R})$ ．
（1）当 $b=4$ 时，求 $f(x)$ 的极值；
（2）若 $f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{1}{3}\right)$ 上单调递增，求 $b$ 的取值范围．

19．设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$，点 $\left(a_{n}, b_{n}\right)$ 在函数 $f(x)=2^{x}$ 的图象上 $\left(n \in N^{*}\right)$．
（1）证明：数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等比数列；
（2）若 $a_{1}=1$，函数 $f(x)$ 的图象在点 $\left(a_{2}, b_{2}\right)$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $2-\frac{1}{\ln 2}$，求数列 $\left\{a_{n} b_{n}^{2}\right\}$的前 $n$ 项和 $S_{n}$．

19．（本小题满分 13 分）
设 $S_{n}$ 为数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前项和，已知 $a_{1} \neq 0,2 a_{n}-a_{1}=S_{1} \bullet S_{n}, n \in \mathbf{N}^{*}$
（I）求 $a_{1}, a_{2}$，并求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式；
（II）求数列 $\left\{n a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和。

19．（12分）在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{n+1}=2 a_{n}+2^{n}$ 。
（I）设 $b_{n}=\frac{a_{n}}{2^{n-1}}$ ．证明：数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 是等差数列；
（II）求数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

20．（12分）（2008•陕西）已知数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的首项 $\mathrm{a}_{1}=\frac{2}{3}, \mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}=\frac{2 \mathrm{a}_{\mathrm{n}}}{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}+1}, \mathrm{n}=1,2, \ldots$
（I）证明：数列 $\left\{\frac{1}{a_{n}}-1\right\}$ 是等比数列；
（II）求数列 $\left\{\frac{n}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和。