（12分） A B C 的内角A，B，C的对边分别为a，b…——2017 高考数学第 17 题答案解析

（1）由已知 $\sin A + \sqrt{3} \cos A = 0$，得 $\tan A = -\sqrt{3}$。
因为 $A \in (0, \pi)$，所以 $A = \frac{2\pi}{3}$。

在 $\triangle ABC$ 中，由余弦定理 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$，
代入数据得 $(2\sqrt{7})^2 = 2^2 + c^2 - 2 \times 2 \times c \times (-\frac{1}{2})$，
即 $28 = 4 + c^2 + 2c$，整理得 $c^2 + 2c - 24 = 0$。
解得 $c = 4$ 或 $c = -6$（舍去）。
故 $c = 4$。

（2）在 $\triangle ABC$ 中，由余弦定理 $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$，
代入数据得 $\cos C = \frac{(2\sqrt{7})^2 + 2^2 - 4^2}{2 \times 2\sqrt{7} \times 2} = \frac{28 + 4 - 16}{8\sqrt{7}} = \frac{16}{8\sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$。

因为 $AD \perp AC$，所以在 Rt$\triangle ACD$ 中，$\angle CAD = \frac{\pi}{2}$。
则 $CD = \frac{AC}{\cos C} = \frac{b}{\cos C} = \frac{2}{\frac{2}{\sqrt{7}}} = \sqrt{7}$。

又因为 $a = BC = 2\sqrt{7}$，所以 $BD = BC - CD = 2\sqrt{7} - \sqrt{7} = \sqrt{7}$。
由此可知 $D$ 为 $BC$ 的中点，即 $BD = \frac{1}{2}BC$。

$\triangle ABC$ 的面积 $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$。
因为 $\triangle ABD$ 与 $\triangle ABC$ 高相同，底边 $BD = \frac{1}{2}BC$，
所以 $S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$。