已知 a, b, c 均为正数，且 a^ 2 +b^ 2…——2022 高考数学第 23 题答案解析

（1）由柯西不等式：

$$[a^2 + b^2 + (2c)^2](1^2 + 1^2 + 1^2) \geq (a \cdot 1 + b \cdot 1 + 2c \cdot 1)^2$$

将已知条件 $a^2 + b^2 + 4c^2 = 3$ 代入左端，得：

$$3 \times 3 \geq (a + b + 2c)^2$$

即 $(a + b + 2c)^2 \leq 9$。因为 $a, b, c$ 均为正数，所以 $a + b + 2c > 0$，开方得：

$$a + b + 2c \leq 3$$

等号成立当且仅当 $\frac{a}{1} = \frac{b}{1} = \frac{2c}{1}$，结合 $a^2+b^2+4c^2=3$ 解得 $a = b = 2c = 1$。

（2）当 $b = 2c$ 时，由第（1）问结论可得：

$$a + b + 2c = a + 2c + 2c = a + 4c \leq 3$$

又 $a, c > 0$，故 $0 < a + 4c \leq 3$，从而：

$$\frac{1}{a + 4c} \geq \frac{1}{3}$$

对 $\frac{1}{a} + \frac{1}{c}$ 利用柯西不等式（权方和形式），将其改写为：

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{1^2}{a} + \frac{2^2}{4c}$$

由柯西不等式：

$$\left(\frac{1^2}{a} + \frac{2^2}{4c}\right)(a + 4c) \geq (1 + 2)^2 = 9$$

因此：

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a + 4c}$$

结合 $\frac{1}{a+4c} \geq \frac{1}{3}$，得：

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a + 4c} \geq 9 \times \frac{1}{3} = 3$$

等号成立条件为 $\frac{1/a}{1} = \frac{2/(4c)}{1}$ 即 $a = 2c$，且 $a + 4c = 3$，联立解得 $a = 1,\; c = \frac{1}{2},\; b = 1$，满足题设条件。

综上，$\frac{1}{a} + \frac{1}{c} \geq 3$ 成立。