（12分）设函数 f ( x ) = s i n x 2…——2008 高考数学第 22 题答案解析

（Ⅰ）函数 $f(x) = \dfrac{\sin x}{2 + \cos x}$ 的定义域为 $\mathbb{R}$。

求导得：
$$f'(x) = \frac{\cos x(2 + \cos x) - \sin x(-\sin x)}{(2 + \cos x)^2} = \frac{2\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(2 + \cos x)^2} = \frac{2\cos x + 1}{(2 + \cos x)^2}$$

由于分母 $(2 + \cos x)^2 > 0$ 恒成立，$f'(x)$ 的符号由分子 $2\cos x + 1$ 决定。

令 $f'(x) > 0$，即 $\cos x > -\dfrac{1}{2}$，解得 $2k\pi - \dfrac{2\pi}{3} < x < 2k\pi + \dfrac{2\pi}{3}$，$k \in \mathbb{Z}$。

令 $f'(x) < 0$，即 $\cos x < -\dfrac{1}{2}$，解得 $2k\pi + \dfrac{2\pi}{3} < x < 2k\pi + \dfrac{4\pi}{3}$，$k \in \mathbb{Z}$。

因此，$f(x)$ 的单调递增区间为 $\left(2k\pi - \dfrac{2\pi}{3},\, 2k\pi + \dfrac{2\pi}{3}\right)$，单调递减区间为 $\left(2k\pi + \dfrac{2\pi}{3},\, 2k\pi + \dfrac{4\pi}{3}\right)$，$k \in \mathbb{Z}$。

（Ⅱ）设 $g(x) = ax - f(x)$，则条件等价于对任意 $x \geq 0$，$g(x) \geq 0$ 恒成立。注意到 $g(0) = 0$。

计算 $g'(x)$：
$$g'(x) = a - f'(x) = a - \frac{2\cos x + 1}{(2 + \cos x)^2}$$

对含 $\cos x$ 的部分进行配方。令 $t = \dfrac{1}{2 + \cos x}$，由于 $\cos x \in [-1, 1]$，故 $t \in \left[\dfrac{1}{3}, 1\right]$。

将 $f'(x)$ 用 $t$ 表示：$\cos x = \dfrac{1}{t} - 2$，代入得
$$f'(x) = \frac{2\left(\frac{1}{t} - 2\right) + 1}{\left(\frac{1}{t}\right)^2} = t^2\left(\frac{2}{t} - 3\right) = 2t - 3t^2$$

因此
$$g'(x) = a - (2t - 3t^2) = 3t^2 - 2t + a = 3\left(t - \frac{1}{3}\right)^2 + a - \frac{1}{3}$$

**当 $a \geq \dfrac{1}{3}$ 时：**

$g'(x) = 3\left(t - \dfrac{1}{3}\right)^2 + a - \dfrac{1}{3} \geq 0$ 对所有 $x$ 成立，故 $g(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上单调递增。结合 $g(0) = 0$，得 $g(x) \geq 0$ 对所有 $x \geq 0$ 成立，满足题意。

**当 $0 < a < \dfrac{1}{3}$ 时：**

取 $x$ 充分小且为正数，此时 $\cos x$ 接近 $1$，$t$ 接近 $\dfrac{1}{3}$，$g'(x)$ 接近 $a - \dfrac{1}{3} < 0$。具体地，令 $h(x) = \sin x - 3ax$，则 $h'(x) = \cos x - 3a$。当 $x \in (0, \arccos 3a)$ 时，$h'(x) > 0$，故 $h(x) > h(0) = 0$，即 $\sin x > 3ax$。

在此区间内，$2 + \cos x < 3$，所以
$$f(x) = \frac{\sin x}{2 + \cos x} > \frac{\sin x}{3} > ax$$

即存在 $x > 0$ 使得 $f(x) > ax$，不满足题意。

**当 $a \leq 0$ 时：**

取 $x = \dfrac{\pi}{2}$，$f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{1}{2} > 0 \geq a \cdot \dfrac{\pi}{2}$，不满足题意。

综上所述，$a$ 的取值范围为 $\left[\dfrac{1}{3}, +\infty\right)$。