2008 全国 II 卷（旧） 数学

（5分）设集合 $\cdot \vert 1 = \{ m \in 2 \vert - 3 < m < 2 \}$ $\mathsf { N } = \left\{ \mathsf { n } \in \mathsf { Z } \mid - 1 \leq \mathsf { n } \leq 3 \right\}$ ，则 $\mathsf { M } \cap \mathsf { N } = \mathsf { \Omega } ( \mathsf { \Omega }$ ）

（5分）设a，b∈R且b≠0，若复数 $( \mathsf { a } + \mathsf { b } \mathsf { i } )$ ³是实数，则（　　） A $\mathtt { b } ^ { 2 } = 3 \mathtt { a } ^ { 2 }$ B $\mathtt { a } ^ { 2 } = 3 \mathtt { b } ^ { 2 }$ C $\mathsf { b } ^ { 2 } \mathsf { \overline { { \mathbf { \Lambda } } } } \mathsf { \overline { { \mathbf { \Lambda } } } } \mathsf { 9 } \mathsf { \overline { { \mathbf { d } } } } ^ { 2 }$ D $\mathtt { a } ^ { 2 } = \mathtt { g h } ^ { 2 }$

（5分）函数f $( \textsf { x } ) = \frac { 1 } { \textsf { x } } - \textsf { x }$ 的图象关于（　　）

（5分）若 $\mathbf { \bar { x } } \mathbf { \in \partial } \left( \mathbf { e } ^ { \mathrm { ~ - ~ } 1 } , \ \ 1 \right)$ ，a=lnx，b=2lnx， $\mathtt { c } { = } | \mathsf { n } ^ { 3 } \mathsf { x }$ ，则（ ） A $\mathsf { a } { < } \mathsf { b } { < } \mathsf { c }$ B $c < a < b$ C ${ \mathsf { b } } { < } { \mathsf { a } } { < } { \mathsf { c } }$ D $\mathsf { b } { < } \mathsf { c } { < } \mathsf { a }$

（5分）设变量$x$，$y$满足约束条件：$\begin{cases} y\geqslant x \\ x+2y\leqslant 2 \\ x\geqslant -2 \end{cases}$，则$z=x-3y$的最小值（　　）

（5分）从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（　　）A $\frac { 9 } { 2 9 }$ B $\frac { 1 0 } { 2 9 }$ C $\frac { 1 9 } { 2 9 }$ D $\frac { 2 0 } { 2 9 }$

（5分） $( 1 - \sqrt { \tt { x } } ) \ ^ { \mathrm { ~ 6 ~ } } \left( 1 ^ { + } \sqrt { \tt { x } } \right)$ ⁴的展开式中x的系数是（　　）

（5分）若动直线 $\scriptstyle \mathbf { x } = \mathbf { \hat { d } }$ 与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（　　）A．1 B $\sqrt { 2 }$ C $\sqrt { 3 }$ D．2

（5分）设$a>1$，则双曲线$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{(a+1)^{2}}=1$的离心率$e$的取值范围是（　　）

（5分）已知正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为（　　）A $\frac 1 3$ B $\frac { \sqrt { 2 } } { 3 }$ C $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ D $\frac { 2 } { 3 }$

（5分）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 $x + y - 2 = 0$ 与 $x - 7 y - 4 = 0$ ，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（　　）A．3 B．2 C $\frac { 1 } { 3 }$ D $\begin{array} { l } { { \frac { 1 } { 2 } } } \end{array}$

（5分）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（　　）A．1 B $\sqrt { 2 }$ C $\sqrt { 3 }$ D．2

（5分）设向量$\vec{a}=(1,\ 2)$，$\vec{b}=(2,\ 3)$，若向量$\lambda\vec{a}+\vec{b}$与向量$\vec{c}=(-4,\ -7)$共线，则$\lambda=$____．

（5分）设曲线 $\scriptstyle \operatorname { i y } = e ^ { \mathsf { a x } }$ 在点（0，1）处的切线与直线 $x ^ { + } 2 y ^ { + } 1 = 0$ 垂直，则 $a = 2$

（5分）已知F是抛物线C：$y^2=4x$的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A，B两点．设$|FA|>|FB|$，则$|FA|$与$|FB|$的比值等于____．

（10分）在 $\triangle A B C$ 中， $\cos B = - \frac { 5 } { 1 3 } , \cos C = \frac { 4 } { 5 }$

（1）求sinA的值

②设 $\triangle A B C$ 的面积 $S _ { \Delta A B C } = \frac { 3 3 } { 2 }$ ，求BC的长

（12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为$1 - 0.999^{10^4}$．
（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p；
（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．

（12分）设数列 $\{ \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } \}$ 的前n项和为 $S _ { \mathfrak { n } }$ ．已知 $\mathtt { a } _ { 1 } = \mathtt { a }$ ， $\sf a _ { n + 1 } { = } S _ { n } { + } 3 ^ { n }$ ⁿ， $\mathsf { n } { \in } \mathsf { N } ^ { * }$

（Ⅰ）设 $b _ { n } = S _ { n } - 3 ^ { n }$ ，求数列 $\{ { \sf b } _ { \sf n } \}$ 的通项公式；

（Ⅱ）若 $\mathsf { a } _ { \mathsf { n } + 1 } { \geq } \mathsf { a } _ { \mathsf { n } } , \mathsf { n } { \in } \mathsf { N } ^ { * }$ ，求a的取值范围

（12分）设函数 $\mathbf { f } \left( \mathbf { x } \right) { = } \frac { \mathsf { s i n x } } { 2 { + } \mathsf { c o s x } }$

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）如果对任何x≥0，都有f ${ \bf \Pi } ( { \bf x } ) \leq { \bf a x }$ ，求a的取值范围