已知函数 f(x)=|x-2|, g(x)=|2 x+3|…——2021 高考数学第 23 题答案解析

（1）由绝对值定义可得 $f(x)$ 的分段表达式：
$$f(x)=|x-2|=\begin{cases} 2-x, & x < 2 \\ x-2, & x \geq 2 \end{cases}$$
其图像是以 $(2,0)$ 为顶点，开口向上的折线。

对于 $g(x)$，分段讨论去绝对值：
当 $x < -\frac{3}{2}$ 时，$g(x) = -(2x+3) - [-(2x-1)] = -4$；
当 $-\frac{3}{2} \leq x < \frac{1}{2}$ 时，$g(x) = (2x+3) - [-(2x-1)] = 4x+2$；
当 $x \geq \frac{1}{2}$ 时，$g(x) = (2x+3) - (2x-1) = 4$。
即
$$g(x)=\begin{cases} -4, & x < -\frac{3}{2} \\ 4x+2, & -\frac{3}{2} \leq x < \frac{1}{2} \\ 4, & x \geq \frac{1}{2} \end{cases}$$
其图像特征为：在 $(-\infty, -\frac{3}{2})$ 上是水平直线 $y=-4$；在 $[-\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ 上是连接点 $(-\frac{3}{2}, -4)$ 和 $(\frac{1}{2}, 4)$ 的线段；在 $[\frac{1}{2}, +\infty)$ 上是水平直线 $y=4$。

（2）不等式 $f(x+a) \geq g(x)$ 即 $|x+a-2| \geq g(x)$。
观察 $g(x)$ 的图像可知，当 $x \geq \frac{1}{2}$ 时，$g(x)$ 取得最大值 $4$ 且保持不变。
要使不等式恒成立，首先在 $x \geq \frac{1}{2}$ 区间内必须满足 $|x+a-2| \geq 4$。
即对于任意 $x \geq \frac{1}{2}$，有 $x+a-2 \geq 4$ 或 $x+a-2 \leq -4$。
整理得 $x \geq 6-a$ 或 $x \leq -2-a$。
由于 $x$ 的取值范围是 $[\frac{1}{2}, +\infty)$，这就要求区间 $[\frac{1}{2}, +\infty)$ 必须包含于 $(-\infty, -2-a] \cup [6-a, +\infty)$ 中。
显然 $[\frac{1}{2}, +\infty)$ 不可能包含于 $(-\infty, -2-a]$，故必须满足 $[\frac{1}{2}, +\infty) \subseteq [6-a, +\infty)$。
这意味着区间的左端点需满足 $\frac{1}{2} \geq 6-a$，解得 $a \geq \frac{11}{2}$。

下面验证当 $a \geq \frac{11}{2}$ 时，不等式在其他区间是否成立：
此时 $2-a \leq -\frac{7}{2}$。
① 当 $x < -\frac{3}{2}$ 时，$g(x) = -4$。因为 $|x+a-2| \geq 0$，所以 $|x+a-2| \geq -4$ 恒成立。
② 当 $-\frac{3}{2} \leq x < \frac{1}{2}$ 时，$g(x) = 4x+2$。
此时 $x \geq -\frac{3}{2}$ 且 $a \geq \frac{11}{2}$，所以 $x+a-2 \geq -\frac{3}{2} + \frac{11}{2} - 2 = 2 > 0$。
不等式化为 $x+a-2 \geq 4x+2$，即 $a-4 \geq 3x$。
因为 $x < \frac{1}{2}$，所以 $3x < \frac{3}{2}$。
而由 $a \geq \frac{11}{2}$ 可知 $a-4 \geq \frac{11}{2} - 4 = \frac{3}{2}$。
所以 $a-4 \geq 3x$ 恒成立。

综上所述，$a$ 的取值范围是 $[\frac{11}{2}, +\infty)$。