2021 全国甲卷 · 理 数学

设集合 $M=\{x \mid 0<x<4\}, N=\left\{x \left\lvert\, \frac{1}{3} \leq x \leq 5\right.\right\}$ ，则 $M \cap N=()$

为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到

如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是

已知 $(1-i)^{2} z=3+2 i$ ，则 $z=$（ ）

青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 $L$ 和小数记录表的数据 $V$ 的满足 $L=5+\lg V$ 。已知某同学视力的五分记录法的数据为4．9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ $\sqrt[10]{10} \approx 1.259$ ）

已知 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C$ 的两个焦点，$P$ 为 $C$ 上一点，且 $\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ},\left|P F_{1}\right|=3\left|P F_{2}\right|$ ，则 $C$ 的离心率为 ）

在一个正方体中，过顶点 $A$ 的三条棱的中点分别为 $E, F, G$ ．该正方体截去三棱锥 $A-E F G$ 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）

正视图

等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，设甲：$q>0$ ，乙：$\left\{S_{n}\right\}$ 是递增数列，则（）

2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86 （单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一。如图是三角高程测量法的一个示意图，现有 $A, B, C$ 三点，且 $A, B, C$ 在同一水平面上的投影 $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ 满足 $\angle A^{\prime} C^{\prime} B^{\prime}=45^{\circ}, \angle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}=60^{\circ}$ 。由 $C$ 点测得 $B$ 点的仰角为 $15^{\circ}, B B^{\prime}$ 与 $C C^{\prime}$ 的差为 100 ；由 $B$ 点测得 $A$ 点的仰角为 $45^{\circ}$ ，则 $A, C$ 两点到水平面 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的高度差 $A A^{\prime}-C C^{\prime}$ 约为（ $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）（ ）

若 $\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \tan 2 \alpha=\frac{\cos \alpha}{2-\sin \alpha}$ ，则 $\tan \alpha=()$

将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为（ ）

已如 $A, B, C$ 是半径为 1 的球 $O$ 的球面上的三个点，且 $A C \perp B C, A C=B C=1$ ，则三棱锥 $O-A B C$ 的体积为（ ）

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}, f(x+1)$ 为奇函数，$f(x+2)$ 为偶函数，当 $x \in[1,2]$ 时，
$f(x)=a x^{2}+b$ ．若 $f(0)+f(3)=6$ ，则 $f\left(\frac{9}{2}\right)=$

曲线 $y=\frac{2 x-1}{x+2}$ 在点 $(-1,-3)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

已知向量 $\vec{a}=(3,1), \vec{b}=(1,0), \vec{c}=\vec{a}+k \vec{b}$ ．若 $\vec{a} \perp \vec{c}$ ，则 $k=$ $\_\_\_\_$。

已知 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $C: \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 的两个焦点，$P, Q$ 为 $C$ 上关于坐标原点对称的两点，且 $|P Q|=\left|F_{1} F_{2}\right|$ ，则四边形 $P F_{1} Q F_{2}$ 的面积为

已知函数 $f(x)=2 \cos (\omega x+\varphi)$ 的部分图像如图所示，则满足条件 $\left(f(x)-f\left(-\frac{7 \pi}{4}\right)\right)\left(f(x)-f\left(\frac{4 \pi}{3}\right)\right)>0$ 的最小正整数 $x$ 为 $\_\_\_\_$ ．

甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下表：

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
（2）能否有 $99 \%$ 的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正数，记 $S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和，从下面（1）（2）（3）中选取两个作为条件，证明另外一个成立。
（1）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列：（2）数列 $\left\{\sqrt{S_{n}}\right\}$ 是等差数列；（3）$a_{2}=3 a_{1}$ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

已知直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 为正方形，$A B=B C=2, E, F$ 分别为 $A C$ 和 $C C_{1}$ 的中点 ，$D$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点．$B F \perp A_{1} B_{1}$

（1）证明：$B F \perp D E$ ；
（2）当 $B_{1} D$ 为何值时，面 $B B_{1} C_{1} C$ 与面 $D F E$ 所成的二面角的正弦值最小？

已知 $a>0$ 且 $a \neq 1$ ，函数 $f(x)=\frac{x^{a}}{a^{x}}(x>0)$ ．
（1）当 $a=2$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=1$ 有且仅有两个交点，求 $a$ 的取值范围．

在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sqrt{2} \cos \theta$.
（1）将 $C$ 的极坐标方程化为直角坐标方程；
②设点 $A$ 的直角坐标为 $(1,0), M$ 为 $C$ 上的动点，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{A P}=\sqrt{2} \overrightarrow{A M}$ ，写出 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程，并判断 $C$ 与 $C_{1}$ 是否有公共点．

已知函数 $f(x)=|x-2|, g(x)=|2 x+3|-|2 x-1|$ ．

（1）画出 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 的图像；
（2）若 $f(x+a) \geq g(x)$ ，求 $a$ 的取值范围．