（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，即 $c = \frac{\sqrt{3}}{2}a$。
又 $\triangle OAB$ 的面积为 1，且 $A(a, 0), B(0, b)$，故 $\frac{1}{2}ab = 1$，即 $ab = 2$。
结合椭圆性质 $a^2 = b^2 + c^2$，将 $c$ 代入得：
$a^2 = b^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2 = b^2 + \frac{3}{4}a^2$，
整理得 $\frac{1}{4}a^2 = b^2$，即 $a = 2b$。
联立 $ab=2$ 与 $a=2b$，解得 $b=1, a=2$。
所以椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 $A(2, 0), B(0, 1)$。设 $P(x_0, y_0)$ 为椭圆上一点，则满足 $x_0^2 + 4y_0^2 = 4$。
1. 求 $|BM|$：
直线 $PA$ 的方程为 $y = \frac{y_0}{x_0 - 2}(x - 2)$。
令 $x=0$，得 $y_M = \frac{-2y_0}{x_0 - 2}$，即点 $M$ 的坐标为 $(0, \frac{-2y_0}{x_0 - 2})$。
因为 $B(0, 1)$，所以 $|BM| = \left| 1 - \frac{-2y_0}{x_0 - 2} \right| = \left| \frac{x_0 - 2 + 2y_0}{x_0 - 2} \right|$。
2. 求 $|AN|$：
直线 $PB$ 的方程为 $y - 1 = \frac{y_0 - 1}{x_0}(x - 0)$，即 $y = \frac{y_0 - 1}{x_0}x + 1$。
令 $y=0$，得 $0 = \frac{y_0 - 1}{x_0}x_N + 1$，解得 $x_N = \frac{-x_0}{y_0 - 1}$，即点 $N$ 的坐标为 $(\frac{-x_0}{y_0 - 1}, 0)$。
因为 $A(2, 0)$，所以 $|AN| = \left| 2 - \frac{-x_0}{y_0 - 1} \right| = \left| \frac{2(y_0 - 1) + x_0}{y_0 - 1} \right| = \left| \frac{x_0 + 2y_0 - 2}{y_0 - 1} \right|$。
3. 计算乘积：
$|AN| \cdot |BM| = \left| \frac{x_0 + 2y_0 - 2}{y_0 - 1} \right| \cdot \left| \frac{x_0 + 2y_0 - 2}{x_0 - 2} \right| = \left| \frac{(x_0 + 2y_0 - 2)^2}{(x_0 - 2)(y_0 - 1)} \right|$。
展开分子：$(x_0 + 2y_0 - 2)^2 = x_0^2 + 4y_0^2 + 4 + 4x_0y_0 - 4x_0 - 8y_0$。
利用 $x_0^2 + 4y_0^2 = 4$，分子化简为：$4 + 4 + 4x_0y_0 - 4x_0 - 8y_0 = 8 + 4x_0y_0 - 4x_0 - 8y_0 = 4(2 + x_0y_0 - x_0 - 2y_0)$。
展开分母：$(x_0 - 2)(y_0 - 1) = x_0y_0 - x_0 - 2y_0 + 2$。
显然分子是分母的 4 倍，即：
$|AN| \cdot |BM| = \left| \frac{4(x_0y_0 - x_0 - 2y_0 + 2)}{x_0y_0 - x_0 - 2y_0 + 2} \right| = 4$。
故 $|AN| \cdot |BM|$ 为定值 4。