（12分）在平面四边形ABCD中， A D C = 9 0…——2018 高考数学第 17 题答案解析

（1）在 $\triangle ABD$ 中，由正弦定理 $\frac{AB}{\sin \angle ADB} = \frac{BD}{\sin A}$，
代入已知数据 $AB=2, BD=5, A=45^{\circ}$，得：
$$ \frac{2}{\sin \angle ADB} = \frac{5}{\sin 45^{\circ}} $$
解得 $\sin \angle ADB = \frac{2 \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{5} = \frac{\sqrt{2}}{5}$。

因为 $AB < BD$，所以 $\angle ADB < A = 45^{\circ}$，即 $\angle ADB$ 为锐角。
故 $\cos \angle ADB = \sqrt{1 - \sin^2 \angle ADB} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{25}} = \frac{\sqrt{23}}{5}$。

（2）因为 $\angle ADC = 90^{\circ}$，所以 $\angle BDC = 90^{\circ} - \angle ADB$。
从而 $\cos \angle BDC = \cos(90^{\circ} - \angle ADB) = \sin \angle ADB = \frac{\sqrt{2}}{5}$。

在 $\triangle BCD$ 中，由余弦定理得：
$$ BC^2 = BD^2 + DC^2 - 2 BD \cdot DC \cos \angle BDC $$
代入 $BD=5, DC=2\sqrt{2}, \cos \angle BDC = \frac{\sqrt{2}}{5}$，得：
$$ BC^2 = 5^2 + (2\sqrt{2})^2 - 2 \times 5 \times 2\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{5} $$
$$ BC^2 = 25 + 8 - 4 \times 2 = 33 - 8 = 25 $$
所以 $BC = 5$。