（17）（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)= 1…——2010 高考数学第 17 题答案解析

（I）首先对函数 $f(x)$ 进行化简。
由二倍角公式 $\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$ 及诱导公式 $\sin(\frac{\pi}{2}+\varphi) = \cos \varphi$，代入原式得：
$$ \begin{aligned} f(x) &= \frac{1}{2} \sin 2x \sin \varphi + \frac{1+\cos 2x}{2} \cos \varphi - \frac{1}{2} \cos \varphi \\ &= \frac{1}{2} \sin 2x \sin \varphi + \frac{1}{2} \cos \varphi + \frac{1}{2} \cos 2x \cos \varphi - \frac{1}{2} \cos \varphi \\ &= \frac{1}{2} (\sin 2x \sin \varphi + \cos 2x \cos \varphi) \end{aligned} $$
利用两角差的余弦公式 $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$，可得：
$$ f(x) = \frac{1}{2} \cos(2x - \varphi) $$
因为函数图象过点 $(\frac{\pi}{6}, \frac{1}{2})$，所以：
$$ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cos\left(2 \times \frac{\pi}{6} - \varphi\right) $$
即 $\cos(\frac{\pi}{3} - \varphi) = 1$。
又因为 $0 < \varphi < \pi$，所以 $-\frac{2\pi}{3} < \frac{\pi}{3} - \varphi < \frac{\pi}{3}$。
在此范围内，余弦值为 1 的角只能是 0，故：
$$ \frac{\pi}{3} - \varphi = 0 \implies \varphi = \frac{\pi}{3} $$

（II）由（I）知 $f(x) = \frac{1}{2} \cos(2x - \frac{\pi}{3})$。
将函数 $y=f(x)$ 图象上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$（纵坐标不变），即把 $x$ 替换为 $2x$，得到函数 $g(x)$：
$$ g(x) = \frac{1}{2} \cos\left(2(2x) - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \cos\left(4x - \frac{\pi}{3}\right) $$
当 $x \in [0, \frac{\pi}{4}]$ 时，
$$ 0 \le 4x \le \pi \implies -\frac{\pi}{3} \le 4x - \frac{\pi}{3} \le \frac{2\pi}{3} $$
令 $t = 4x - \frac{\pi}{3}$，则 $t \in [-\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}]$。
考察余弦函数 $y = \cos t$ 在该区间上的取值范围：
- 当 $t = 0$ 时，$\cos t$ 取得最大值 $1$；
- 当 $t = \frac{2\pi}{3}$ 时，$\cos t$ 取得最小值 $-\frac{1}{2}$（注意 $\cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$，$\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$，且在该区间内单调性变化涵盖了极值点）。
所以，$\cos(4x - \frac{\pi}{3})$ 的最大值为 $1$，最小值为 $-\frac{1}{2}$。
从而 $g(x)$ 的最大值为 $\frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$，最小值为 $\frac{1}{2} \times (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4}$。