设椭圆 C: x^ 2 a^ 2 + y^ 2 b^ 2…——2024 高考数学第 18 题答案解析

（1）由题意，椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \ (a>b>0)$ 的右焦点为 $F(c, 0)$。
因为 $M\left(1, \frac{3}{2}\right)$ 在椭圆上，且 $MF \perp x$ 轴，所以点 $M$ 的横坐标即为半焦距 $c$，即 $c=1$。
此时 $F(1, 0)$。
将点 $M\left(1, \frac{3}{2}\right)$ 代入椭圆方程，得：
$$ \frac{1}{a^2} + \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^2}{b^2} = 1 \implies \frac{1}{a^2} + \frac{9}{4b^2} = 1 $$
又因为 $a^2 = b^2 + c^2 = b^2 + 1$，代入上式：
$$ \frac{1}{b^2+1} + \frac{9}{4b^2} = 1 $$
整理得：
$$ 4b^2 + 9(b^2+1) = 4b^2(b^2+1) $$
$$ 13b^2 + 9 = 4b^4 + 4b^2 $$
$$ 4b^4 - 9b^2 - 9 = 0 $$
解关于 $b^2$ 的一元二次方程：
$$ (4b^2 + 3)(b^2 - 3) = 0 $$
因为 $b^2 > 0$，所以 $b^2 = 3$。
进而 $a^2 = b^2 + 1 = 4$。
故椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$。

（2）由（1）知 $F(1, 0)$，又 $P(4, 0)$，则线段 $FP$ 的中点 $N$ 的坐标为 $\left(\frac{1+4}{2}, 0\right) = \left(\frac{5}{2}, 0\right)$。
直线 $MF$ 的方程为 $x=1$。
设过点 $P(4, 0)$ 的直线 $AB$ 的方程为 $y = k(x-4)$（若斜率不存在，直线为 $x=4$，与椭圆无交点，故斜率必存在）。
设 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$。
联立直线与椭圆方程：
$$ \begin{cases} y = k(x-4) \\ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 \end{cases} $$
消去 $y$ 得：
$$ 3x^2 + 4[k(x-4)]^2 = 12 $$
$$ 3x^2 + 4k^2(x^2 - 8x + 16) - 12 = 0 $$
$$ (3 + 4k^2)x^2 - 32k^2x + (64k^2 - 12) = 0 $$
由韦达定理可得：
$$ x_1 + x_2 = \frac{32k^2}{3+4k^2}, \quad x_1 x_2 = \frac{64k^2 - 12}{3+4k^2} $$
直线 $NB$ 经过点 $N\left(\frac{5}{2}, 0\right)$ 和 $B(x_2, y_2)$，其方程为：
$$ y = \frac{y_2}{x_2 - \frac{5}{2}} \left(x - \frac{5}{2}\right) $$
点 $Q$ 是直线 $NB$ 与直线 $MF$ ($x=1$) 的交点，令 $x=1$，得 $Q$ 点的纵坐标 $y_Q$：
$$ y_Q = \frac{y_2}{x_2 - \frac{5}{2}} \left(1 - \frac{5}{2}\right) = \frac{y_2}{\frac{2x_2 - 5}{2}} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{-3y_2}{2x_2 - 5} $$
要证明 $AQ \perp y$ 轴，只需证明 $y_A = y_Q$，即 $y_1 = y_Q$。
考察 $y_1 - y_Q$：
$$ y_1 - y_Q = y_1 + \frac{3y_2}{2x_2 - 5} $$
将 $y_1 = k(x_1 - 4)$ 和 $y_2 = k(x_2 - 4)$ 代入：
$$ y_1 - y_Q = k(x_1 - 4) + \frac{3k(x_2 - 4)}{2x_2 - 5} = k \left[ (x_1 - 4) + \frac{3(x_2 - 4)}{2x_2 - 5} \right] $$
通分括号内各项：
$$ (x_1 - 4) + \frac{3x_2 - 12}{2x_2 - 5} = \frac{(x_1 - 4)(2x_2 - 5) + 3x_2 - 12}{2x_2 - 5} $$
展开分子：
$$ \text{分子} = 2x_1 x_2 - 5x_1 - 8x_2 + 20 + 3x_2 - 12 = 2x_1 x_2 - 5x_1 - 5x_2 + 8 $$
$$ = 2x_1 x_2 - 5(x_1 + x_2) + 8 $$
将韦达定理的结果代入分子表达式：
$$ 2 \cdot \frac{64k^2 - 12}{3+4k^2} - 5 \cdot \frac{32k^2}{3+4k^2} + 8 $$
$$ = \frac{2(64k^2 - 12) - 160k^2 + 8(3+4k^2)}{3+4k^2} $$
$$ = \frac{128k^2 - 24 - 160k^2 + 24 + 32k^2}{3+4k^2} $$
$$ = \frac{(128 - 160 + 32)k^2 + (-24 + 24)}{3+4k^2} = \frac{0}{3+4k^2} = 0 $$
因此，分子为 0，即 $y_1 - y_Q = 0 \implies y_1 = y_Q$。
所以 $A, Q$ 两点纵坐标相等，即 $AQ \parallel x$ 轴，故 $AQ \perp y$ 轴。
证毕。