（12分）已知数列 a _ n 中， a _ 1 = 1，…——2012 高考数学第 18 题答案解析

（1）由已知 $S_n = \frac{n+2}{3}a_n$ 及 $a_1=1$。

当 $n=2$ 时，$S_2 = a_1 + a_2 = 1 + a_2$，代入公式得：
$$1 + a_2 = \frac{2+2}{3}a_2 = \frac{4}{3}a_2$$
整理得 $\frac{1}{3}a_2 = 1$，解得 $a_2 = 3$。

当 $n=3$ 时，$S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = 1 + 3 + a_3 = 4 + a_3$，代入公式得：
$$4 + a_3 = \frac{3+2}{3}a_3 = \frac{5}{3}a_3$$
整理得 $\frac{2}{3}a_3 = 4$，解得 $a_3 = 6$。

故 $a_2=3, a_3=6$。

（2）当 $n \ge 2$ 时，由 $S_n = \frac{n+2}{3}a_n$ ①
可得 $S_{n-1} = \frac{(n-1)+2}{3}a_{n-1} = \frac{n+1}{3}a_{n-1}$ ②

① - ② 得：
$$a_n = S_n - S_{n-1} = \frac{n+2}{3}a_n - \frac{n+1}{3}a_{n-1}$$
移项整理：
$$\left( 1 - \frac{n+2}{3} \right) a_n = - \frac{n+1}{3} a_{n-1}$$
$$\frac{3 - n - 2}{3} a_n = - \frac{n+1}{3} a_{n-1}$$
$$\frac{1-n}{3} a_n = - \frac{n+1}{3} a_{n-1}$$
$$(n-1) a_n = (n+1) a_{n-1}$$
即 $\frac{a_n}{a_{n-1}} = \frac{n+1}{n-1} \quad (n \ge 2)$。

利用累乘法求通项公式：
$$a_n = a_1 \cdot \frac{a_2}{a_1} \cdot \frac{a_3}{a_2} \cdots \frac{a_n}{a_{n-1}}$$
$$a_n = 1 \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{4}{2} \cdot \frac{5}{3} \cdots \frac{n}{n-2} \cdot \frac{n+1}{n-1}$$

观察分子分母的消去规律：
分子为 $3 \times 4 \times 5 \times \cdots \times n \times (n+1)$
分母为 $1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times (n-2) \times (n-1)$

中间项 $3, 4, \dots, n-1$ 均被约去，剩余：
$$a_n = \frac{n(n+1)}{1 \times 2} = \frac{n(n+1)}{2}$$

当 $n=1$ 时，$a_1 = \frac{1 \times 2}{2} = 1$，符合题意。

故数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n = \frac{n(n+1)}{2}$。