记 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b…——2022 高考数学第 17 题答案解析

（1）由已知 $\sin C \sin (A - B) = \sin B \sin (C - A)$，展开两角差的正弦公式：
$$ \sin C (\sin A \cos B - \cos A \sin B) = \sin B (\sin C \cos A - \cos C \sin A) $$
整理得：
$$ \sin C \sin A \cos B - \sin C \sin B \cos A = \sin B \sin C \cos A - \sin B \cos C \sin A $$
移项合并同类项：
$$ \sin A \sin C \cos B + \sin A \sin B \cos C = 2 \sin B \sin C \cos A $$
根据正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$，将角化为边，即 $\sin A \propto a, \sin B \propto b, \sin C \propto c$。代入上式并约去公因子（比例系数），得：
$$ a c \cos B + a b \cos C = 2 b c \cos A $$
由余弦定理 $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}, \cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}, \cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$，代入上式：
$$ ac \cdot \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} + ab \cdot \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = 2bc \cdot \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} $$
化简得：
$$ \frac{a^2+c^2-b^2}{2} + \frac{a^2+b^2-c^2}{2} = b^2+c^2-a^2 $$
左边通分合并：
$$ \frac{2a^2}{2} = a^2 $$
故方程变为：
$$ a^2 = b^2 + c^2 - a^2 $$
即 $2a^2 = b^2 + c^2$，得证。

（2）由（1）知 $2a^2 = b^2 + c^2$。
已知 $a=5$，则 $b^2 + c^2 = 2 \times 5^2 = 50$。
由余弦定理 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$，代入已知数据：
$$ 25 = 50 - 2bc \cdot \frac{25}{31} $$
$$ 2bc \cdot \frac{25}{31} = 25 $$
$$ bc = \frac{31}{2} $$
计算 $(b+c)^2$：
$$ (b+c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc = 50 + 31 = 81 $$
因为 $b, c > 0$，所以 $b+c = \sqrt{81} = 9$。
$\triangle ABC$ 的周长为 $a + b + c = 5 + 9 = 14$。