（14分）直线 y = k x + m ( m ≠ 0 )…——2013 高考数学第 19 题答案解析

（Ⅰ）由四边形 $OABC$ 为菱形可知，对角线 $AC$ 与 $OB$ 互相垂直平分。
已知 $O(0,0)$，$B(0,1)$，则线段 $OB$ 的中点坐标为 $(0, \frac{1}{2})$，且 $OB$ 在 $y$ 轴上。
因为 $AC \perp OB$，所以直线 $AC$ 平行于 $x$ 轴，其方程为 $y = \frac{1}{2}$。
将 $y = \frac{1}{2}$ 代入椭圆方程 $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$，得：
$$ \frac{x^2}{4} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 \implies \frac{x^2}{4} = \frac{3}{4} \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3} $$
故点 $A, C$ 的坐标分别为 $(-\sqrt{3}, \frac{1}{2})$ 和 $(\sqrt{3}, \frac{1}{2})$。
所以 $|AC| = \sqrt{3} - (-\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$。

（Ⅱ）假设四边形 $OABC$ 为菱形。
由菱形的性质可知，邻边相等，即 $|OA| = |OC|$。
设 $A(x_1, y_1)$，$C(x_2, y_2)$。
因为 $A, C$ 在椭圆 $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$ 上，且 $|OA|^2 = |OC|^2$，即 $x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2$。
由椭圆方程可得 $y^2 = 1 - \frac{x^2}{4}$，代入距离公式：
$$ x_1^2 + \left(1 - \frac{x_1^2}{4}\right) = x_2^2 + \left(1 - \frac{x_2^2}{4}\right) $$
整理得：
$$ \frac{3}{4}x_1^2 = \frac{3}{4}x_2^2 \implies x_1^2 = x_2^2 \implies x_1 = x_2 \text{ 或 } x_1 = -x_2 $$
由于直线 $y=kx+m$ 与椭圆交于两点 $A, C$，若 $x_1 = x_2$，则 $A, C$ 重合或直线垂直于 $x$ 轴。
1. 若 $x_1 = x_2$，则 $A, C$ 关于 $x$ 轴对称（因在椭圆上且横坐标相同，纵坐标互为相反数，除非是顶点）。此时直线 $AC$ 垂直于 $x$ 轴，即 $k$ 不存在或直线为 $x=c$。但题目给定直线方程为 $y=kx+m$，斜率存在。若 $A,C$ 重合则不构成四边形。若 $A,C$ 不重合且 $x_1=x_2$，则直线垂直 $x$ 轴，这与 $y=kx+m$ ($k$ 存在) 矛盾，或者此时 $A,C$ 只能是椭圆的左右顶点（但这要求 $y=0$，即 $m=0$，与题设 $m \neq 0$ 矛盾）。实际上，对于斜率存在的直线，$x_1 \neq x_2$。因此必有 $x_1 = -x_2$。
2. 若 $x_1 = -x_2$，则 $A, C$ 关于 $y$ 轴对称。
此时线段 $AC$ 的中点在 $y$ 轴上。
又因为四边形 $OABC$ 是菱形，对角线互相平分，所以 $OB$ 的中点也是 $AC$ 的中点。
这意味着 $B$ 点必须在 $y$ 轴上（因为 $O$ 在原点，$AC$ 中点在 $y$ 轴，故 $OB$ 连线在 $y$ 轴上，或者说 $B$ 的横坐标为 0）。
点 $B$ 在椭圆上且横坐标为 0，则 $B$ 的坐标为 $(0, 1)$ 或 $(0, -1)$。
这两个点正是椭圆 $W$ 的顶点。
这与题设“点 $B$ 不是 $W$ 的顶点”矛盾。

综上所述，假设不成立，四边形 $OABC$ 不可能为菱形。