（5分）三棱柱 A B C - A _ 1 B _ 1 C…——2012 高考数学第 16 题答案解析

设 $\overrightarrow{AB}=\vec{a}, \overrightarrow{AC}=\vec{b}, \overrightarrow{AA_1}=\vec{c}$，由题意知三棱柱所有棱长相等，不妨设棱长为 1。
因为底面边长和侧棱长都相等，且 $\angle BAA_1 = \angle CAA_1 = 60^\circ$，底面 $\triangle ABC$ 为等边三角形，故 $\angle BAC = 60^\circ$。
由此可得基底向量的数量积：
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$，
$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}|\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$，
$\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{a}||\vec{c}|\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$，
且 $|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2 = 1$。

将异面直线 $AB_1$ 与 $BC_1$ 的方向向量用基底表示：
$\overrightarrow{AB_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB_1} = \vec{a} + \vec{c}$，
$\overrightarrow{BC_1} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC_1} = (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) + \overrightarrow{AA_1} = \vec{b} - \vec{a} + \vec{c}$。

计算两向量的数量积：
$\overrightarrow{AB_1} \cdot \overrightarrow{BC_1} = (\vec{a} + \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{a} + \vec{c})$
$= \vec{a}\cdot\vec{b} - \vec{a}^2 + \vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{c}\cdot\vec{b} - \vec{c}\cdot\vec{a} + \vec{c}^2$
$= \vec{a}\cdot\vec{b} - |\vec{a}|^2 + \vec{b}\cdot\vec{c} + |\vec{c}|^2$
$= \frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{2} + 1 = 1$。

计算两向量的模长：
$|\overrightarrow{AB_1}| = \sqrt{(\vec{a} + \vec{c})^2} = \sqrt{\vec{a}^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{c}^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$，
$|\overrightarrow{BC_1}| = \sqrt{(\vec{b} - \vec{a} + \vec{c})^2} = \sqrt{\vec{b}^2 + \vec{a}^2 + \vec{c}^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + 2\vec{b}\cdot\vec{c} - 2\vec{a}\cdot\vec{c}}$
$= \sqrt{1 + 1 + 1 - 1 + 1 - 1} = \sqrt{2}$。

设异面直线 $AB_1$ 与 $BC_1$ 所成角为 $\theta$，则：
$\cos \theta = \frac{|\overrightarrow{AB_1} \cdot \overrightarrow{BC_1}|}{|\overrightarrow{AB_1}| \cdot |\overrightarrow{BC_1}|} = \frac{1}{\sqrt{3} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$。