（本小题满分10分）在平面直角坐标系 x O y 中，设点…——2019 高考数学第 23 题答案解析

（1）当 $n=1$ 时，集合 $M_1$ 中的点为：
$A_1 = \{(0,0), (1,0)\}$，
$B_1 = \{(0,1), (1,1)\}$，
$C_1 = \{(0,2), (1,2)\}$。
集合 $M_1$ 共有 $2+2+2=6$ 个点。
从 $M_1$ 中任取两个不同的点，总的取法数为 $\binom{6}{2} = 15$ 种。

计算两点间距离 $X$ 的可能取值及对应的频数：
1. **距离为 1**：
* 同行相邻点：$(0,0)-(1,0)$，$(0,1)-(1,1)$，$(0,2)-(1,2)$，共 3 对。
* 同列相邻点（纵坐标差1）：
* $y=0$ 与 $y=1$ 之间：$(0,0)-(0,1)$，$(1,0)-(1,1)$，共 2 对。
* $y=1$ 与 $y=2$ 之间：$(0,1)-(0,2)$，$(1,1)-(1,2)$，共 2 对。
* 合计 $3+2+2=7$ 对。
* $P(X=1) = \frac{7}{15}$。

2. **距离为 $\sqrt{2}$**：
* 即横纵坐标差均为 1 的对角线距离。
* $y=0$ 与 $y=1$ 之间：$(0,0)-(1,1)$，$(1,0)-(0,1)$，共 2 对。
* $y=1$ 与 $y=2$ 之间：$(0,1)-(1,2)$，$(1,1)-(0,2)$，共 2 对。
* 合计 $2+2=4$ 对。
* $P(X=\sqrt{2}) = \frac{4}{15}$。

3. **距离为 2**：
* 同列且纵坐标差为 2 的点：$(0,0)-(0,2)$，$(1,0)-(1,2)$，共 2 对。
* $P(X=2) = \frac{2}{15}$。

4. **距离为 $\sqrt{5}$**：
* 即横坐标差 1，纵坐标差 2 的点。
* $(0,0)-(1,2)$，$(1,0)-(0,2)$，共 2 对。
* $P(X=\sqrt{5}) = \frac{2}{15}$。

综上，$X$ 的概率分布列为：
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 1 & \sqrt{2} & 2 & \sqrt{5} \\ \hline P & \frac{7}{15} & \frac{4}{15} & \frac{2}{15} & \frac{2}{15} \\ \hline \end{array} $$

（2）集合 $M_n$ 中点的总数为 $|A_n| + |B_n| + |C_n| = (n+1) + 2 + (n+1) = 2n+4$。
从 $M_n$ 中任取两个不同点的总取法数为 $N = \binom{2n+4}{2} = \frac{(2n+4)(2n+3)}{2} = (n+2)(2n+3)$。

设取出的两点为 $P_1(x_1, y_1)$ 和 $P_2(x_2, y_2)$，距离 $X = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}$。
要求 $P(X \le n)$，利用对立事件求解，即先求 $P(X > n)$。
$X > n \iff X^2 > n^2 \iff (x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 > n^2$。

根据两点纵坐标 $y_1, y_2$ 的取值情况分类讨论：

1. **若 $y_1 = y_2$**：
此时 $(y_1-y_2)^2 = 0$，则 $X^2 = (x_1-x_2)^2$。
因为 $x_1, x_2 \in \{0, 1, \dots, n\}$，所以 $|x_1-x_2| \le n$，即 $X \le n$。
此种情况下不存在 $X > n$ 的情形。

2. **若 $|y_1 - y_2| = 1$**：
此时 $(y_1-y_2)^2 = 1$，则 $X^2 = (x_1-x_2)^2 + 1$。
要使 $X > n$，需 $(x_1-x_2)^2 + 1 > n^2$，即 $(x_1-x_2)^2 > n^2 - 1$。
因为 $x_1, x_2$ 为整数，所以 $|x_1-x_2|$ 为整数。
又 $|x_1-x_2| \le n$，故 $|x_1-x_2|^2 \le n^2$。
满足 $n^2 - 1 < |x_1-x_2|^2 \le n^2$ 的整数平方只有 $n^2$（当 $n \ge 1$ 时，$n^2 > n^2-1$ 恒成立；而 $(n-1)^2 = n^2-2n+1$，当 $n \ge 3$ 时，$n^2-2n+1 \le n^2-5 < n^2-1$，故 $(n-1)^2$ 不满足条件）。
因此，必须满足 $|x_1-x_2| = n$。
这对应两种子情况：
* $y$ 坐标分别为 $0, 1$：点集为 $A_n$ 和 $B_n$。
$|x_1-x_2|=n$ 意味着 $\{x_1, x_2\} = \{0, n\}$。
可能的点对为 $((0,0), (n,1))$ 和 $((n,0), (0,1))$。注意 $B_n$ 中只有 $(0,1)$ 和 $(n,1)$ 两个点。
具体配对：
$P_1 \in A_n, P_2 \in B_n$。
若 $P_2=(0,1)$，则需 $P_1=(n,0)$，距离 $\sqrt{n^2+1}$。
若 $P_2=(n,1)$，则需 $P_1=(0,0)$，距离 $\sqrt{n^2+1}$。
共 2 种取法。
* $y$ 坐标分别为 $1, 2$：点集为 $B_n$ 和 $C_n$。
同理，需 $|x_1-x_2|=n$。
$B_n$ 中 $x$ 只能取 $0$ 或 $n$。
若 $P_1 \in B_n$ 为 $(0,1)$，则 $P_2 \in C_n$ 需为 $(n,2)$，距离 $\sqrt{n^2+1}$。
若 $P_1 \in B_n$ 为 $(n,1)$，则 $P_2 \in C_n$ 需为 $(0,2)$，距离 $\sqrt{n^2+1}$。
共 2 种取法。

综上，当 $|y_1-y_2|=1$ 时，满足 $X>n$ 的取法共有 $2+2=4$ 种，此时 $X = \sqrt{n^2+1}$。

3. **若 $|y_1 - y_2| = 2$**：
此时 $(y_1-y_2)^2 = 4$，则 $X^2 = (x_1-x_2)^2 + 4$。
要使 $X > n$，需 $(x_1-x_2)^2 + 4 > n^2$，即 $(x_1-x_2)^2 > n^2 - 4$。
同样，$|x_1-x_2| \le n$。
考察 $|x_1-x_2| = n-1$ 时，$(n-1)^2 = n^2 - 2n + 1$。
因为 $n \ge 3$，所以 $2n - 1 \ge 5 > 4$，即 $n^2 - (n^2 - 2n + 1) = 2n - 1 > 4$，故 $(n-1)^2 < n^2 - 4$。
所以 $|x_1-x_2|$ 不能取 $n-1$ 或更小值。
唯一可能是 $|x_1-x_2| = n$，此时 $X^2 = n^2 + 4 > n^2$，满足条件。

这种情况仅发生在 $y$ 坐标分别为 $0, 2$ 时（点集 $A_n$ 和 $C_n$）。
需 $|x_1-x_2|=n$，即 $\{x_1, x_2\} = \{0, n\}$。
可能的点对：
$P_1 \in A_n, P_2 \in C_n$。
若 $P_1=(0,0)$，则 $P_2=(n,2)$，距离 $\sqrt{n^2+4}$。
若 $P_1=(n,0)$，则 $P_2=(0,2)$，距离 $\sqrt{n^2+4}$。
共 2 种取法。

综上所述，满足 $X > n$ 的情况共有 $4 + 2 = 6$ 种。
所以，$P(X > n) = \frac{6}{\binom{2n+4}{2}} = \frac{6}{(n+2)(2n+3)}$。

故所求概率为：
$$ P(X \le n) = 1 - P(X > n) = 1 - \frac{6}{(n+2)(2n+3)} $$