如图，在三棱柱 A B C-A_ 1 B_ 1 C_ 1…——2022 高考数学第 17 题答案解析

（1）取 $AB$ 的中点 $K$，连接 $MK, NK$．
因为 $M, K$ 分别为 $A_1B_1, AB$ 的中点，且四边形 $ABB_1A_1$ 为平行四边形，所以 $MK // BB_1$．
又 $MK \not\subset$ 平面 $BCC_1B_1$，$BB_1 \subset$ 平面 $BCC_1B_1$，所以 $MK //$ 平面 $BCC_1B_1$．
因为 $N, K$ 分别为 $AC, AB$ 的中点，所以 $NK // BC$．
同理 $NK //$ 平面 $BCC_1B_1$．
因为 $MK \cap NK = K$，$MK, NK \subset$ 平面 $MNK$，所以平面 $MNK //$ 平面 $BCC_1B_1$．
因为 $MN \subset$ 平面 $MNK$，所以 $MN //$ 平面 $BCC_1B_1$．

（2）因为侧面 $BCC_1B_1$ 为正方形，所以 $BC \perp BB_1$．
因为平面 $BCC_1B_1 \perp$ 平面 $ABB_1A_1$，平面 $BCC_1B_1 \cap$ 平面 $ABB_1A_1 = BB_1$，且 $BC \subset$ 平面 $BCC_1B_1$，
所以 $BC \perp$ 平面 $ABB_1A_1$．
因为 $NK // BC$，所以 $NK \perp$ 平面 $ABB_1A_1$．

若选条件①：
因为 $NK \perp$ 平面 $ABB_1A_1$，$AB \subset$ 平面 $ABB_1A_1$，所以 $NK \perp AB$．
又 $AB \perp MN$，$NK \cap MN = N$，$NK, MN \subset$ 平面 $MNK$，所以 $AB \perp$ 平面 $MNK$．
因为 $MK \subset$ 平面 $MNK$，所以 $AB \perp MK$．
因为 $MK // BB_1$，所以 $AB \perp BB_1$．
又 $BC \perp BB_1$，$AB \cap BC = B$，所以 $BB_1 \perp$ 平面 $ABC$．

若选条件②：
由 $NK \perp$ 平面 $ABB_1A_1$ 知 $NK \perp MK$．
在 Rt$\triangle MKN$ 中，$NK = \frac{1}{2}BC = 1$，$MK = BB_1 = 2$，所以 $MN = \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5}$．
因为 $BM = MN = \sqrt{5}$．
在 $\triangle BB_1M$ 中，$BB_1 = 2, B_1M = \frac{1}{2}A_1B_1 = 1$．
因为 $BM^2 = 5 = BB_1^2 + B_1M^2$，所以 $\angle BB_1M = 90^\circ$，即 $A_1B_1 \perp BB_1$．
因为 $AB // A_1B_1$，所以 $AB \perp BB_1$．
又 $BC \perp BB_1$，$AB \cap BC = B$，所以 $BB_1 \perp$ 平面 $ABC$．

综上，无论选哪个条件，都有 $BB_1 \perp$ 平面 $ABC$，且 $BC \perp AB$．
以 $B$ 为原点，$\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BB_1}$ 的方向分别为 $x, y, z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系．
则 $B(0,0,0), A(0,2,0), C(2,0,0), B_1(0,0,2)$．
因为 $M$ 为 $A_1B_1$ 的中点，$A_1(0,2,2)$，所以 $M(0,1,2)$．
因为 $N$ 为 $AC$ 的中点，所以 $N(1,1,0)$．
$\overrightarrow{BA} = (0,2,0), \overrightarrow{BN} = (1,1,0), \overrightarrow{BM} = (0,1,2)$．
设平面 $BMN$ 的法向量为 $\vec{n} = (x,y,z)$，
则 $\begin{cases} \vec{n} \cdot \overrightarrow{BN} = x+y=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{BM} = y+2z=0 \end{cases}$．
取 $z=-1$，则 $y=2, x=-2$，所以 $\vec{n} = (-2, 2, -1)$．
设直线 $AB$ 与平面 $BMN$ 所成角为 $\theta$，
则 $\sin \theta = |\cos \langle \vec{n}, \overrightarrow{BA} \rangle| = \frac{|\vec{n} \cdot \overrightarrow{BA}|}{|\vec{n}| |\overrightarrow{BA}|} = \frac{|0+4+0|}{\sqrt{4+4+1} \cdot 2} = \frac{4}{3 \times 2} = \frac{2}{3}$．