（本小题满分 12 分） 已知数列 a_ n 的各项均为正…——2012 高考数学第 19 题答案解析

（I）由题意，对任意 $n \in \mathbb{N}^*$，$A(n), B(n), C(n)$ 成等差数列，故满足：
$$2B(n) = A(n) + C(n) \implies B(n) - A(n) = C(n) - B(n)$$
根据定义展开各项：
$$ \begin{aligned} B(n) - A(n) &= (a_2 + a_3 + \cdots + a_{n+1}) - (a_1 + a_2 + \cdots + a_n) \\ &= a_{n+1} - a_1 \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} C(n) - B(n) &= (a_3 + a_4 + \cdots + a_{n+2}) - (a_2 + a_3 + \cdots + a_{n+1}) \\ &= a_{n+2} - a_2 \end{aligned} $$
代入等式得：
$$a_{n+1} - a_1 = a_{n+2} - a_2 \implies a_{n+2} - a_{n+1} = a_2 - a_1$$
已知 $a_1 = 1, a_2 = 5$，则 $a_2 - a_1 = 4$。
所以 $a_{n+2} - a_{n+1} = 4$ 对任意 $n \in \mathbb{N}^*$ 成立。
这表明数列 $\{a_n\}$ 从第二项起，后一项与前一项的差为常数 4。
又因为 $a_2 - a_1 = 4$，故数列 $\{a_n\}$ 是首项 $a_1=1$，公差 $d=4$ 的等差数列。
通项公式为：
$$a_n = a_1 + (n-1)d = 1 + 4(n-1) = 4n - 3$$

（II）证明如下：

**必要性**：
若数列 $\{a_n\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，则 $a_{k+1} = a_k q$ ($k \in \mathbb{N}^*$)。
由于 $a_n > 0$，故 $A(n), B(n), C(n)$ 均大于 0。
计算比值：
$$ \frac{B(n)}{A(n)} = \frac{a_2 + a_3 + \cdots + a_{n+1}}{a_1 + a_2 + \cdots + a_n} = \frac{q a_1 + q a_2 + \cdots + q a_n}{a_1 + a_2 + \cdots + a_n} = \frac{q(a_1 + \cdots + a_n)}{a_1 + \cdots + a_n} = q $$
同理：
$$ \frac{C(n)}{B(n)} = \frac{a_3 + a_4 + \cdots + a_{n+2}}{a_2 + a_3 + \cdots + a_{n+1}} = \frac{q a_2 + q a_3 + \cdots + q a_{n+1}}{a_2 + a_3 + \cdots + a_{n+1}} = \frac{q(a_2 + \cdots + a_{n+1})}{a_2 + \cdots + a_{n+1}} = q $$
即 $\frac{B(n)}{A(n)} = \frac{C(n)}{B(n)} = q$，说明 $A(n), B(n), C(n)$ 组成公比为 $q$ 的等比数列。

**充分性**：
若对任意 $n \in \mathbb{N}^*$，$A(n), B(n), C(n)$ 组成公比为 $q$ 的等比数列，则：
$$B(n) = q A(n) \quad \text{且} \quad C(n) = q B(n)$$
两式相减得：
$$C(n) - B(n) = q [B(n) - A(n)]$$
由（I）中的推导可知 $B(n) - A(n) = a_{n+1} - a_1$，$C(n) - B(n) = a_{n+2} - a_2$。
代入上式得：
$$a_{n+2} - a_2 = q (a_{n+1} - a_1) \implies a_{n+2} - q a_{n+1} = a_2 - q a_1$$
此式对任意 $n \in \mathbb{N}^*$ 成立。
取 $n=1$，由 $B(1) = q A(1)$ 可得：
$$a_2 = q a_1 \implies a_2 - q a_1 = 0$$
因此，对于任意 $n \in \mathbb{N}^*$，都有：
$$a_{n+2} - q a_{n+1} = 0 \implies a_{n+2} = q a_{n+1}$$
即 $\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}} = q$。
结合 $a_2 = q a_1$（即 $\frac{a_2}{a_1} = q$），可知对任意 $n \in \mathbb{N}^*$，$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$ 恒成立。
故数列 $\{a_n\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列。

综上所述，命题得证。