在粗糙的水平桌面上有两个静止的木块A和B，两者相距为d。现…——2013 高考物理第 18 题答案解析

设木块 A 的质量为 $m$，则 B 的质量为 $2m$。A 的初速度大小为 $v_0$，碰撞前瞬间 A 的速度大小为 $v$，碰撞后瞬间 A、B 的速度分别为 $v_1$、$v_2$（以 A 初速度方向为正方向）。

**第一步：弹性正碰**

碰撞时间极短，动量守恒与动能守恒同时成立：

$$mv = mv_1 + 2mv_2$$

$$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_1^2 + \frac{1}{2}(2m)v_2^2$$

由动量守恒得 $v_1 = v - 2v_2$，代入动能守恒方程：

$$v^2 = (v - 2v_2)^2 + 2v_2^2$$

展开化简：

$$v^2 = v^2 - 4vv_2 + 4v_2^2 + 2v_2^2$$

$$6v_2^2 - 4vv_2 = 0$$

因 $v_2 \neq 0$，解得：

$$v_2 = \frac{2}{3}v, \quad v_1 = v - 2 \times \frac{2}{3}v = -\frac{1}{3}v$$

即碰撞后 A 反向弹回，速率为 $\frac{1}{3}v$；B 沿原方向运动，速率为 $\frac{2}{3}v$。

**第二步：碰撞后两木块的滑行距离**

对 A 和 B 分别用动能定理（摩擦力做负功使其停下）：

A 滑行距离 $d_1$：$\mu mg d_1 = \frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}m\left(\frac{v}{3}\right)^2$，得 $d_1 = \dfrac{v^2}{18\mu g}$

B 滑行距离 $d_2$：$\mu(2m)g d_2 = \frac{1}{2}(2m)v_2^2 = \frac{1}{2}(2m)\left(\frac{2v}{3}\right)^2$，得 $d_2 = \dfrac{4v^2}{18\mu g} = \dfrac{2v^2}{9\mu g}$

**第三步：利用停止时相距仍为 $d$ 的条件**

碰撞发生在 A 原来位置前方 $d$ 处（即 B 的初始位置）。碰后 A 反向滑行 $d_1$，B 正向滑行 $d_2$，两者最终间距为：

$$d_1 + d_2 = d$$

代入：

$$\frac{v^2}{18\mu g} + \frac{4v^2}{18\mu g} = d$$

$$\frac{5v^2}{18\mu g} = d \implies v^2 = \frac{18\mu g d}{5}$$

**第四步：求初速度 $v_0$**

A 从出发到碰撞前滑行了距离 $d$，由动能定理：

$$-\mu mg d = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2$$

$$v_0^2 = v^2 + 2\mu g d = \frac{18\mu g d}{5} + 2\mu g d = \frac{18\mu g d + 10\mu g d}{5} = \frac{28\mu g d}{5}$$

因此：

$$v_0 = \sqrt{\frac{28\mu g d}{5}}$$