[选修4-5：不等式选讲] 已知a，b，c为正数，且满足…——2019 高考数学第 23 题答案解析

**证明：**

(1) 由已知 $abc=1$，可得：
$$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{bc}{abc} + \frac{ac}{abc} + \frac{ab}{abc} = bc + ac + ab $$
根据基本不等式 $x^2+y^2 \ge 2xy$（当且仅当 $x=y$ 时取等号），我们有：
$$ a^2 + b^2 \ge 2ab $$
$$ b^2 + c^2 \ge 2bc $$
$$ c^2 + a^2 \ge 2ca $$
将上述三式相加，得：
$$ 2(a^2 + b^2 + c^2) \ge 2(ab + bc + ca) $$
即：
$$ a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca $$
代入第一步的变换结果，即得：
$$ a^2 + b^2 + c^2 \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} $$
当且仅当 $a=b=c=1$ 时，等号成立。

(2) 令 $x = a+b, y = b+c, z = c+a$。因为 $a,b,c$ 为正数，所以 $x,y,z$ 均为正数。
根据均值不等式（或幂平均不等式），对于正实数 $x,y,z$，有：
$$ \frac{x^3 + y^3 + z^3}{3} \ge \sqrt[3]{x^3 y^3 z^3} = xyz $$
即：
$$ (a+b)^3 + (b+c)^3 + (c+a)^3 \ge 3(a+b)(b+c)(c+a) $$
再次利用基本不等式 $a+b \ge 2\sqrt{ab}$，$b+c \ge 2\sqrt{bc}$，$c+a \ge 2\sqrt{ca}$，可得：
$$ (a+b)(b+c)(c+a) \ge (2\sqrt{ab})(2\sqrt{bc})(2\sqrt{ca}) = 8\sqrt{a^2 b^2 c^2} = 8abc $$
因为 $abc=1$，所以：
$$ (a+b)(b+c)(c+a) \ge 8 $$
综合上述两步推导：
$$ (a+b)^3 + (b+c)^3 + (c+a)^3 \ge 3 \times 8 = 24 $$
当且仅当 $a=b=c=1$ 时，所有不等式的等号同时成立，故原不等式得证。