22．设 $a, b$ 为实数，且 $a>1$ ，函数 $f(x)=a^{x}-b x+e^{2}(x \in \mathrm{R})$
（1）求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若对任意 $b>2 e^{2}$ ，函数 $f(x)$ 有两个不同的零点，求 $a$ 的取值范围；
（3）当 $a=e$ 时，证明：对任意 $b>e^{4}$ ，函数 $f(x)$ 有两个不同的零点 $x_{1}, x_{2}$ ，满足 $x_{2}>\frac{b \ln b}{2 e^{2}} x_{1}+\frac{e^{2}}{b}$ ．
（注：$e=2.71828 \cdots$ 是自然对数的底数）
Answer key
①$b \leq 0$ 时，$f(x)$ 在 $R$ 上单调递增；$b>0$ 时，函数的单调减区间为 $\left(-\infty, \log _{a} \frac{b}{\ln a}\right)$ ，单调增区间为 $\left(\log _{a} \frac{b}{\ln a},+\infty\right)$ ； ②$\left(1, e^{2}\right]$ ； （3）证明见解析。 ##