分类不完整高考易错题

18．已知函数 $f(x)=\ln \frac{x}{2-x}+a x+b(x-1)^{3}$
（1）若 $b=0$ ，且 $f^{\prime}(x) \geq 0$ ，求 $a$ 的最小值；
（2）证明：曲线 $y=f(x)$ 是中心对称图形；
（3）若 $f(x)>-2$ 当且仅当 $1<x<2$ ，求 $b$ 的取值范围．

14．在如图的 $4 \times 4$ 方格表中选 4 个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 $\_\_\_\_$种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的 4 个数之和的最大值是 $\_\_\_\_$。

15．过四点 $(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)$ 中的三点的一个圆的方程为 $\_\_\_\_$。

8．已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$ ，且 $f(x+y)+f(x-y)=f(x) f(y), f(1)=1$ ，则 $\sum_{k=1}^{22} f(k)=()$

21．抛物线$C$的顶点为坐标原点$O$．焦点在$x$轴上，直线$l$：$x=1$交$C$于$P$，$Q$两点，且$OP\perp OQ$．已知点$M(2,0)$，且$\odot M$与$l$相切．
（1）求$C$，$\odot M$的方程；
（2）设$A_1,A_2,A_3$是$C$上的三个点，直线$A_1A_2$，$A_1A_3$均与$\odot M$相切．判断直线$A_2A_3$与$\odot M$的位置关系，并说明理由．

22．设 $a, b$ 为实数，且 $a>1$ ，函数 $f(x)=a^{x}-b x+e^{2}(x \in \mathrm{R})$
（1）求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若对任意 $b>2 e^{2}$ ，函数 $f(x)$ 有两个不同的零点，求 $a$ 的取值范围；
（3）当 $a=e$ 时，证明：对任意 $b>e^{4}$ ，函数 $f(x)$ 有两个不同的零点 $x_{1}, x_{2}$ ，满足 $x_{2}>\frac{b \ln b}{2 e^{2}} x_{1}+\frac{e^{2}}{b}$ ．
（注：$e=2.71828 \cdots$ 是自然对数的底数）

19．有一条长为 120 米的步行道 $OA$，$A$ 是垃圾投放点 $\omega_1$，若以 $O$ 为原点，$OA$ 为 $x$ 轴正半轴建立直角坐标系，设点 $B(x,0)$，现要建设另一座垃圾投放点 $\omega_2(t,0)$，函数 $f_t(x)$ 表示与 $B$ 点距离最近的垃圾投放点的距离.
（1）若 $t = 60$，求 $f_{60}(10)$、$f_{60}(80)$、$f_{60}(95)$ 的值，并写出 $f_{60}(x)$ 的函数解析式；
（2）若可以通过 $f_t(x)$ 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利.
问：垃圾投放点 $\omega_2$ 建在何处才能比建在中点时更加便利？

21．已知非空集合 $A \subseteq \mathbf{R}$ ，函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$ ，若对任意 $t \in A$ 且 $x \in D$ ，不等式 $f(x) \leq f(x+t)$ 恒成立，则称函数 $f(x)$ 具有 $A$ 性质．
①当 $A=\{-1\}$ ，判断 $f(x)=-x , g(x)=2 x$ 是否具有 $A$ 性质；
②当 $A=(0,1), f(x)=x+\frac{1}{x}, x \in[a,+\infty)$ ，若 $f(x)$ 具有 $A$ 性质，求 $a$ 的取值范围；
（3）当 $A=\{-2, m\}, ~ m \in \mathbf{Z}$ ，若 $D$ 为整数集且具有 $A$ 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的 $m$ 的值．

14．4名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名同学，则不同的安排方法共有 $\_\_\_\_$种．

7．执行右面的程序框图，若输入的 $k=0, a=0$ ，则输出的 $k$ 为

9．已知曲线 $C: m x^{2}+n y^{2}=1$ ．

9．首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派 4 人参与连续 5 天的志愿者活动，其中甲连续参加 2 天，其余每人各参加 1 天，问有多少种不同的安排种数 $\_\_\_\_$
（结果用数值表示）

6．在同一直角坐标系中，函数 $y=\frac{1}{a^{x}}, y=\log _{a}\left(x+\frac{1}{2}\right)(a>0$ 且 $a \neq 0)$ 的图象可能是（ ）

13．在二项式 $(\sqrt{2}+x)^{9}$ 的展开式中，常数项是 $\_\_\_\_$ ；系数为有理数的项的个数是 $\_\_\_\_$ ．

19．（12分）设椭圆 $C$ ：$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$ 的右焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，点 M 的坐标为 $(2,0)$ ．
（1）当 $\mid$ 与 $x$ 轴垂直时，求直线 $A M$ 的方程；
②设 $O$ 为坐标原点，证明：$\angle O M A=\angle O M B$ ．

3．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为

5．（5 分）若函数 $f(x)=x^{2}+a x+b$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值是 $M$ ，最小值是 $m$ ，则 M－m（ ）

8．（5 分）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒。每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则

17．设 $a \hat{\mathbf{l}} \mathbf{R}, b \hat{\mathbf{l}}[0,2 \pi]$ ．若对任意实数 $x$ 都有 $\sin \left(3 x-\frac{\pi}{3}\right)=\sin (a x+b)$ ，则满足条件的有序实数对 $(a, b)$ 的对数为 $(\quad)$ ．

24．已知函数 $f(x)=|x+1|-|2 x-3|$ ．
（I）在图中画出 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图象；
（II）求不等式 $|f(x)|>1$ 的解集。

7．（5分）若将函数 $\mathrm{y}=2 \sin 2 \mathrm{x}$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位长度，则平移后的图象的对称轴为

15．已知函数 $f(x)=2^{x}, g(x)=x^{2}+a x$（其中 $a \in R$ ）．对于不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，设 $m=\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}$， $n=\frac{g\left(x_{1}\right)-g\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}$.
现有如下命题：
①对于任意不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，都有 $m>0$；
②对于任意的 $a$ 及任意不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，都有 $n>0$；
③对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，使得 $m=n$；
④对于任意的 $a$，存在不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$，使得 $m=-n$．
其中的真命题有 $\_\_\_\_$ （写出所有真命题的序号）．

21．（本小题满分 14 分）
一种作图工具如图1所示．$O$ 是滑槽 $A B$ 的中点，短杆 $O N$ 可绕 $O$ 转动，长杆 $M N$ 通过 $N$ 处较链与 $O N$连接，$M N$ 上的栓子 $D$ 可沿滑槽 $A B$ 滑动，且 $D N=O N=1, M N=3$ 。当栓子 $D$ 在滑槽 $A B$ 内作往复运动时，带动 $N$ 绕 $O$ 转动一周（ $D$ 不动时，$N$ 也不动），$M$ 处的笔尖画出的曲线记为 $C$ 。以 $O$ 为原点， $A B$ 所在的直线为 $x$ 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系．
（I）求曲线 $C$ 的方程；
（II）设动直线 $l$ 与两定直线 $l_{1}: x-2 y=0$ 和 $l_{2}: x+2 y=0$ 分别交于 $P, Q$ 两点．若直线 $l$ 总与曲线 $C$ 有且只有一个公共点，试探究：$\triangle O Q P$ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

第21题图1

第21题图1

第 $21 \stackrel{y}{\text { 题图 } 2}$

第21题图2

10．变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y \geq 0 \\ x-2 y+2 \geq 0, \\ m x-y \leq 0\end{array}\right.$ 若 $z=2 x-y$ 的最大值为 2 ，则实数 $m$ 等于

12．＂对任意 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), k \sin x \cos x<x$＂是＂$k<1$＂的

17．$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$，向量 $\vec{m}=(a, \sqrt{3} b)$ 与 $\vec{n}=(\cos A, \sin B)$ 平行．
（I）求 $A$；
（II）若 $a=\sqrt{7}, b=2$ 求 $\triangle A B C$ 的面积．

5．（5 分）设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，则＂$q>1$＂是＂$\left\{a_{n}\right\}$ 为递增数列＂的

14．若变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}y \leq x \\ x+y \leq 4 \\ y \geq k\end{array}\right.$，且 $z=2 x+y$ 的最小值为 -6，则 $k=$ $\_\_\_\_$．

21．（本小题满分 14 分）
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $M$ 到点 $F(1,0)$ 的距离比它到 $y$ 轴的距离多 1 ，记点 $M$ 的轨迹为 $C$ ．
（1）求轨迹为 $C$ 的方程；
②设斜率为 $k$ 的直线 $l$ 过定点 $p(-2,1)$ ，求直线 $l$ 与轨迹 $C$ 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时 $k$ 的相应取值范围．

21．已知函数 $f(x)=e^{x}-a x^{2}-b x-1$，其中 $a, b \in R, e=2.71828 \cdots$ 为自然对数的底数。
（I）设 $g(x)$ 是函数 $f(x)$ 的导函数，求函数 $g(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的最小值；
（II）若 $f(1)=0$，函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内有零点，证明：$e-2<a<1$．

11．（5分）设 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y \geqslant a \\ x-y \leqslant-1\end{array}\right.$ 且 $z=x+a y$ 的最小值为 7 ，则 $a=$（

21．（12分）已知函数 $f(x)=x^{3}-3 x^{2}+a x+2$ ，曲线 $y=f(x)$ 在点（ 0,2 ）处的切线与 x 轴交点的横坐标为 -2 ．
（I）求 $a$ ；
（II）证明：当 $k<1$ 时，曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=k x-2$ 只有一个交点．

12．某学员在一次射击测试中射靶 10 次，命中环数如下：

$$ 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4 $$

则（I）平均命中环数为 $\_\_\_\_$；
（II）命中环数的标准差为 $\_\_\_\_$．

10．（5分）已知函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ ，下列结论中错误的是（ ）

14．（2012•天津）已知函数 $\mathrm{y}=\frac{\left|\mathrm{x}^{2}-1\right|}{\mathrm{x}-1}$ 的图象与函数 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}$ 的图象恰有两个交点，则实数 k 的取值范围是—
$\_\_\_\_$ ．

7．已知函数 $f(x)=2 \sin (\omega x+\varphi), x \in R$ ，其中 $\omega>0,-\pi<\varphi \leq \pi$ ，若 $f(x)$ 的最小正周期为 $6 \pi$ ，且当 $x=\frac{\pi}{2}$ 时，$f(x)$ 取得最大值，则

16．（ 5 分）（ $2011 \cdot$ 湖南）对于 $n \in N^{+}$，将 $n$
表示 $n=a_{0} \times 2^{k}+a_{1} \times 2^{k-1}+a_{2} \times 2^{k-2}+\ldots+a_{k-1} \times 2^{1}+a_{k} \times 2^{0}$ ，当 $i=0$ 时，$a_{i}=1$ ，当 $1 \leq i \leq k$ 时，$a_{1}$ 为 0 或 1 ．记 $I ~(n)$ 为上述表示中 $\mathrm{a}_{\mathrm{i}}$ 为 0 的个数（例如： $1=1 \times 2^{0}, 4=1 \times 2^{2}+0 \times 2^{1}+0 \times 2^{0}$ ，故 $I ~(1)=0$ ，I（4 $)=2$ ），则
①$I(12)=$ $\_\_\_\_$ ；②$\sum_{n=1}^{127} 2^{I(n)}=$ $\_\_\_\_$ ．

7．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同
排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相
同的信息个数为

3．不等式 $\left|\frac{x-2}{x}\right|>\frac{x-2}{x}$
的解集是

12．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 $S(t)(S(0)=0)$ ，则导函数 $y=S^{\prime}(t)$ 的图像大致为