4． 曲线 $y=5 x+8 \ln x$ 在点 $(1,5)$ 的切线方程为
Answer key
D
导数法高考真题解析
导数法高考真题解析专题，共 206 道真题，覆盖 19 个年份、149 套试卷，适合老师备课、讲评和归纳训练。围绕“导数法”整理真实题面、参考答案、解题步骤与常见失分点，方便集中复习和迁移训练。可从页面中的相关入口继续查看详情，并按需要筛选和回看。页面信息以当前展示内容为准，方便继续浏览相关页面。
206past questions
19个年份
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6． 已知函数 $f(x)=\frac{x+2}{\mathrm{e}^{x}+a}$ 的最大值为 1 ，则 $a=$
Answer key
B
19. 已知 $f ( x ) = x ^ { 2 } - ( m + 2 ) x + m \mathrm { l n } x , m \in R$
(1)若 $f ( 1 ) = 0$ ,求不等式 $f ( x ) \leqslant x ^ { 2 } - 1$ 的解集；
(2) 若函数 $y = f ( x )$ 满足在 $( 0 , + \infty )$ 上存在极大值，求m的取值范围；
12． 直线 $y=2 x+5$ 是曲线 $y=\mathrm{e}^{x}+x+a$ 的切线，则 $a=$ $\_\_\_\_$．
Answer key
4
$13. x = 2$是 $f(x) =(x$−1)(x−2)(x − a)的极值点，则 f(0) = .
Answer key
-4
18. （17分） $f ( x ) = \ln ( 1 + x ) - x + \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - k x ^ { 3 } , 0 < k < \frac { 1 } { 3 }$
(1）证明：f(x)在(0,+∞)存在唯一极值点和唯一零点；
② 设 $x _ { 1 } , x _ { 2 }$ 为 f(x)在(0,+∞)的极值点和零点；
(i) $g ( t ) = f ( x _ { 1 } + t ) - f ( x _ { 1 } - t )$ 。证明：g(t)在 $\left( 0 , x _ { 1 } \right)$ 单调递减.
（ii）比较 $2 x _ { 1 } x _ { 2 }$ 的大小，并证明.
6．设函数 $f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}+2 \sin x}{1+x^{2}}$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在 $(0,1)$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
Answer key
A
21．已知函数 $f(x)=(1-a x) \ln (1+x)-x$ ．
①当 $a=-2$ 时，求 $f(x)$ 的极值；
②当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．
Answer key
(1) 极小值为 0 ，无极大值．; (2) $a \leq-\frac{1}{2}$
7．曲线 $f(x)=x^{6}+3 x-1$ 在 $(0,-1)$ 处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
Answer key
A
14．曲线 $y=x^{3}-3 x$ 与 $y=-(x-1)^{2}+a$ 在 $(0,+\infty)$ 上有两个不同的交点，则 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$。
Answer key
$(-2,1)$
17．已知函数 $f(x)=a(x-1)-\ln x+1$ ．
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若 $a \leq 2$ 时，证明：当 $x>1$ 时，$f(x)<\mathrm{e}^{x-1}$ 恒成立．
Answer key
(1) 见解析; (2) 见解析
10．设函数 $f(x)=(x-1)^{2}(x-4)$ ，则（ ）
Answer key
ACD
13．若曲线 $y=\mathrm{e}^{x}+x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线也是曲线 $y=\ln (x+1)+a$ 的切线，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
Answer key
$\ln 2$
18．已知函数 $f(x)=\ln \frac{x}{2-x}+a x+b(x-1)^{3}$
（1）若 $b=0$ ，且 $f^{\prime}(x) \geq 0$ ，求 $a$ 的最小值；
（2）证明：曲线 $y=f(x)$ 是中心对称图形；
（3）若 $f(x)>-2$ 当且仅当 $1<x<2$ ，求 $b$ 的取值范围．
Answer key
(1) -2; (2) 证明见解析; (3) $b \geq-\frac{2}{3}$
11．设函数 $f(x)=2 x^{3}-3 a x^{2}+1$ ，则 ()
Answer key
AD
8．曲线 $y=\frac{\mathrm{e}^{x}}{x+1}$ 在点 $\left(1, \frac{\mathrm{e}}{2}\right)$ 处的切线方程为（ ）
Answer key
C
22．（1）证明：当 $0<x<1$ 时，$x-x^{2}<\sin x<x$ ；
（2）已知函数 $f(x)=\cos a x-\ln \left(1-x^{2}\right)$ ，若 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点，求 $a$ 的取值范围．
Answer key
(1) 证明见详解; (2) $(-\infty,-\sqrt{2}) \cup(\sqrt{2},+\infty)$
6．当 $x=1$ 时，函数 $f(x)=a \ln x+\frac{b}{x}$ 取得最大值 -2 ，则 $f^{\prime}(2)=~()$
Answer key
B
12．已知 $a=\frac{31}{32}, b=\cos \frac{1}{4}, c=4 \sin \frac{1}{4}$ ，则（）
Answer key
A
8．当 $x=1$ 时，函数 $f(x)=a \ln x+\frac{b}{x}$ 取得最大值 -2 ，则 $f^{\prime}(2)=~()$
Answer key
B
16．已知 $x=x_{1}$ 和 $x=x_{2}$ 分别是函数 $f(x)=2 a^{x}-\mathrm{e} x^{2} \quad(a>0$ 且 $a \neq 1)$ 的极小值点和极大值点．若 $x_{1}<x_{2}$ ，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$。
Answer key
$\left(\frac{1}{\mathrm{e}}, 1\right)$
11．函数 $f(x)=\cos x+(x+1) \sin x+1$ 在区间 $[0,2 \pi]$ 的最小值、最大值分别为（ ）
Answer key
D
20．已知函数 $f(x)=a x-\frac{1}{x}-(a+1) \ln x$ ．
（1）当 $a=0$ 时，求 $f(x)$ 的最大值；
（2）若 $f(x)$ 恰有一个零点，求 $a$ 的取值范围．
Answer key
(1) -1; (2) $(0,+\infty)$
20．已知 $a, b \in \mathbf{R}$ ，函数 $f(x)=e^{x}-a \sin x, g(x)=b \sqrt{x}$
（1）求函数 $y=f(x)$ 在 $(0, f(0))$ 处的切线方程；
（2）若 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 有公共点，
（i）当 $a=0$ 时，求 $b$ 的取值范围；
（ii）求证：$a^{2}+b^{2}>\mathrm{e}$ ．
Answer key
(1) $y=(1-a) x+1$; (2) （i）$b \in[\sqrt{2 \mathrm{e}},+\infty)$ ；（ii）证明见解析
8．已知正四棱锥的侧棱长为 $l$ ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为 $36 \pi$ ，且 $3 \leq l \leq 3 \sqrt{3}$ ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
Answer key
C
10．已知函数 $f(x)=x^{3}-x+1$ ，则（ ）
Answer key
AC
12．已知函数 $f(x)$ 及其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的定义域均为 $\mathbf{R}$ ，记 $g(x)=f^{\prime}(x)$ ，若 $f\left(\frac{3}{2}-2 x\right)$ ， $g(2+x)$ 均为偶函数，则（ ）
Answer key
BC
15．若曲线 $y=(x+a) \mathrm{e}^{x}$ 有两条过坐标原点的切线，则 $a$ 的取值范围是
$\_\_\_\_$ ．
Answer key
$(-\infty,-4) \cup(0,+\infty)$
22．已知函数 $f(x)=e^{x}-a x$ 和 $g(x)=a x-\ln x$ 有相同的最小值．
（1）求 $a$ ；
（2）证明：存在直线 $y=b$ ，其与两条曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列。
Answer key
(1) $a=1$; (2) 见解析
14．曲线 $y=\ln |x|$ 过坐标原点的两条切线的方程为 $\_\_\_\_$ ， $\_\_\_\_$ ．
Answer key
(1) $y=\frac{1}{\mathrm{e}} x$; (2) $y=-\frac{1}{\mathrm{e}} x$
15．已知函数 $f(x)=|\lg x|-k x-2$ ，给出下列四个结论：
①若 $k=0$ ，则 $f(x)$ 有两个零点；
②$\exists k<0$ ，使得 $f(x)$ 有一个零点；
③$\exists k<0$ ，使得 $f(x)$ 有三个零点；
④$\exists k>0$ ，使得 $f(x)$ 有三个零点。
以上正确结论得序号是 $\_\_\_\_$ ．
Answer key
④
19．已知函数 $f(x)=\frac{3-2 x}{x^{2}+a}$ ．
（1）若 $a=0$ ，求 $y=f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处切线方程；
（2）若函数 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取得极值，求 $f(x)$ 的单调区间，以及最大值和最小值．
Answer key
① $4 x+y-5=0$ ；（2）函数 $f(x)$ 的增区间为 $(-\infty,-1) ,(4,+\infty)$ ，单调递减区间为 $(-1,4)$ ，最大值为 1 ，最小值为 $-\frac{1}{4}$ ． ##
13．曲线 $y=\frac{2 x-1}{x+2}$ 在点 $(-1,-3)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．
Answer key
$5 x-y+2=0$
20．设函数 $f(x)=a^{2} x^{2}+a x-3 \ln x+1$ ，其中 $a>0$ ．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $y=f(x)$ 的图象与 $x$ 轴没有公共点，求 $a$ 的取值范围．
Answer key
①$f(x)$ 的减区间为 $\left(0, \frac{1}{a}\right)$ ，增区间为 $\left(\frac{1}{a},+\infty\right)$ ；②$a>\frac{1}{e}$ ． ##
20．设函数 $f(x)=\ln (a-x)$ ，已知 $x=0$ 是函数 $y=x f(x)$ 的极值点．
（1）求 $a$ ；
②设函数 $g(x)=\frac{x+f(x)}{x f(x)}$ ．证明：$g(x)<1$ ．
Answer key
(1) $a=1$; (2) 证明见详解
7．若过点 $(a, b)$ 可以作曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 的两条切线，则（ ）
Answer key
D
15．函数 $f(x)=|2 x-1|-2 \ln x$ 的最小值为
Answer key
1
14．写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的函数 $f(x)$ ：
（1）$f\left(x_{1} x_{2}\right)=f\left(x_{1}\right) f\left(x_{2}\right)$ ；
（2）当 $x \in(0,+\infty)$ 时，$f^{\prime}(x)>0$ ；
③$f^{\prime}(x)$ 是奇函数．
Answer key
$f(x)=x^{4}$（答案不唯一，$f(x)=x^{2 n}\left(n \in N^{*}\right)$ 均满足）
16.
已知函数 $f(x)=\left|e^{x}-1\right|, x_{1}<0, x_{2}>0$ ，函数 $f(x)$ 的图象在点 $A\left(x_{1}, f\left(x_{1}\right)\right)$ 和点 $B\left(x_{2}, f\left(x_{2}\right)\right)$ 的两条切线互相垂直，且分别交 $y$ 轴于 $M, N$ 两点，则 $\frac{|A M|}{|B N|}$ 取值范围是
Answer key
$(0,1)$
7．已知函数 $f(x)=x^{2}+\frac{1}{4}, g(x)=\sin x$ ，则图象为如图的函数可能是（ ）
Answer key
D