（本小题满分 13 分） 已知函数 f(x)=A sin…——2008 高考数学第 16 题答案解析

（1）由函数 $f(x)=A \sin (x+\varphi)$ 的最大值为 1 且 $A>0$，可知 $A=1$，即 $f(x)=\sin (x+\varphi)$。

将点 $M\left(\frac{\pi}{3}, \frac{1}{2}\right)$ 代入解析式，得：
$$ \sin \left(\frac{\pi}{3}+\varphi\right)=\frac{1}{2} $$

因为 $0<\varphi<\pi$，所以 $\frac{\pi}{3}<\frac{\pi}{3}+\varphi<\frac{4\pi}{3}$。
在此范围内，正弦值为 $\frac{1}{2}$ 的角只有 $\frac{5\pi}{6}$，故：
$$ \frac{\pi}{3}+\varphi=\frac{5\pi}{6} $$
解得 $\varphi=\frac{\pi}{2}$。

所以 $f(x)=\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)$，利用诱导公式化简得：
$$ f(x)=\cos x $$

（2）由（1）知 $f(x)=\cos x$。
因为 $f(\alpha)=\frac{3}{5}$，$f(\beta)=\frac{12}{13}$，所以：
$$ \cos \alpha=\frac{3}{5}, \quad \cos \beta=\frac{12}{13} $$

又因为 $\alpha, \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$，所以 $\sin \alpha > 0$，$\sin \beta > 0$。
根据同角三角函数关系 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$，可得：
$$ \sin \alpha=\sqrt{1-\cos ^{2} \alpha}=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}}=\frac{4}{5} $$
$$ \sin \beta=\sqrt{1-\cos ^{2} \beta}=\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^{2}}=\frac{5}{13} $$

所求 $f(\alpha-\beta)$ 即为 $\cos (\alpha-\beta)$，根据两角差的余弦公式：
$$ \begin{aligned} f(\alpha-\beta) &= \cos (\alpha-\beta) \\ &= \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \\ &= \frac{3}{5} \times \frac{12}{13} + \frac{4}{5} \times \frac{5}{13} \\ &= \frac{36}{65} + \frac{20}{65} \\ &= \frac{56}{65} \end{aligned} $$