如图，在四棱锥 P-A B C D 中，底面 A B C…——2019 高考数学第 17 题答案解析

（I）连接 $BD$。
因为底面 $ABCD$ 为平行四边形，所以对角线互相平分，即 $H$ 为 $BD$ 的中点。
又已知 $G$ 为 $PB$ 的中点，所以在 $\triangle PBD$ 中，$GH$ 为中位线，故 $GH // PD$。
因为 $GH \not\subset$ 平面 $PAD$，且 $PD \subset$ 平面 $PAD$，
所以 $GH //$ 平面 $PAD$。

（II）取 $PC$ 的中点 $N$，连接 $DN$。
因为 $\triangle PCD$ 为等边三角形，所以 $DN \perp PC$。
又因为平面 $PAC \perp$ 平面 $PCD$，平面 $PAC \cap$ 平面 $PCD = PC$，且 $DN \subset$ 平面 $PCD$，
根据面面垂直的性质定理，可得 $DN \perp$ 平面 $PAC$。
因为 $PA \subset$ 平面 $PAC$，所以 $DN \perp PA$。
又已知 $PA \perp CD$，且 $CD \cap DN = D$，$CD, DN \subset$ 平面 $PCD$，
所以 $PA \perp$ 平面 $PCD$。

（III）由（II）可知 $DN \perp$ 平面 $PAC$，则 $AN$ 为 $AD$ 在平面 $PAC$ 上的射影。
所以 $\angle DAN$ 即为直线 $AD$ 与平面 $PAC$ 所成的角。
在 Rt$\triangle AND$ 中，$\angle AND = 90^\circ$。
因为 $\triangle PCD$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，$N$ 为 $PC$ 中点，
所以 $DN = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 = \sqrt{3}$。
已知 $AD = 3$，
所以 $\sin \angle DAN = \frac{DN}{AD} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
即直线 $AD$ 与平面 $PAC$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$。