2013_新课标I Paper
12．（19分）如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L．导轨上端接有一平行板电容器，电容为C．导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为 B，方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为 m 的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为 $\mu$ ，重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：
（1）电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；
（2）金属棒的速度大小随时间变化的关系。
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（1）设金属棒下滑的速度大小为 $v$，根据法拉第电磁感应定律，金属棒切割磁感线产生的感应电动势为：
$$E = BLv$$
由于忽略所有电阻，平行板电容器两端的电压等于感应电动势，即 $U = E$。
根据电容的定义式 $C = \frac{Q}{U}$，可得电容器极板上积累的电荷量为：
$$Q = CU = CBLv$$
（2）设在时间间隔 $\Delta t$ 内，流经金属棒的电流为 $i$，通过金属棒的电荷量为 $\Delta Q$。
由电流定义可知 $i = \frac{\Delta Q}{\Delta t}$。
结合第（1）问结论 $Q = CBLv$，在 $\Delta t$ 时间内电荷量的变化量 $\Delta Q = CBL \Delta v$，其中 $\Delta v$ 为速度变化量。
因此，流过金属棒的瞬时电流为：
$$i = \frac{CBL \Delta v}{\Delta t} = CBL a$$
其中 $a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$ 为金属棒的加速度。
金属棒受到的安培力方向沿导轨向上，大小为：
$$F_{\text{安}} = BiL = B(CBLa)L = CB^2L^2 a$$
金属棒受到的滑动摩擦力方向沿导轨向上，大小为：
$$f = \mu N = \mu mg \cos\theta$$
对金属棒进行受力分析，根据牛顿第二定律，沿导轨向下方向有：
$$mg \sin\theta - F_{\text{安}} - f = ma$$
代入 $F_{\text{安}}$ 和 $f$ 的表达式：
$$mg \sin\theta - CB^2L^2 a - \mu mg \cos\theta = ma$$
整理得：
$$mg(\sin\theta - \mu \cos\theta) = (m + CB^2L^2)a$$
解得加速度为常数：
$$a = \frac{mg(\sin\theta - \mu \cos\theta)}{m + CB^2L^2}$$
由于金属棒从静止开始做匀加速直线运动，故 $t$ 时刻的速度大小为：
$$v = at = \frac{mg(\sin\theta - \mu \cos\theta)}{m + B^2L^2C}t$$