实数 a, b 满足 a + b ≥ 3 . （1）证明：…——2024 高考数学第 23 题答案解析

（1）证明：
首先考察 $2a^2+2b^2$ 与 $(a+b)^2$ 的大小关系。
作差得：
$$2a^2+2b^2 - (a+b)^2 = 2a^2+2b^2 - (a^2+2ab+b^2) = a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$$
因为对于任意实数 $a,b$，都有 $(a-b)^2 \geq 0$，所以 $2a^2+2b^2 \geq (a+b)^2$，当且仅当 $a=b$ 时取等号。

已知 $a+b \geq 3$，则 $(a+b)^2 \geq 3(a+b)$。
又因为 $a+b \geq 3 > 1$，所以 $(a+b)^2 > a+b$。
综合上述不等式链：
$$2a^2+2b^2 \geq (a+b)^2 > a+b$$
即 $2a^2+2b^2 > a+b$ 成立。

（2）证明：
利用绝对值三角不等式 $|x| + |y| \geq |x+y|$，令 $x = a-2b^2$，$y = b-2a^2$，则有：
$$|a-2b^2| + |b-2a^2| \geq |(a-2b^2) + (b-2a^2)| = |-(2a^2+2b^2) + (a+b)| = |2a^2+2b^2 - (a+b)|$$
由第（1）问结论可知 $2a^2+2b^2 > a+b$，即 $2a^2+2b^2 - (a+b) > 0$，故绝对值符号可直接去掉：
$$|a-2b^2| + |b-2a^2| \geq 2a^2+2b^2 - (a+b)$$
再次利用第（1）问中的推导 $2a^2+2b^2 \geq (a+b)^2$，可得：
$$2a^2+2b^2 - (a+b) \geq (a+b)^2 - (a+b) = (a+b)(a+b-1)$$
设 $t = a+b$，由题设知 $t \geq 3$。
考虑函数 $f(t) = t(t-1)$ 在 $t \geq 3$ 时的单调性，显然 $f(t)$ 随 $t$ 增大而增大。
所以当 $t=3$ 时，$f(t)$ 取得最小值：
$$(a+b)(a+b-1) \geq 3 \times (3-1) = 6$$
综上所述：
$$|a-2b^2| + |b-2a^2| \geq 6$$