（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量…——2017 高考数学第 19 题答案解析

（1）由旧养殖法的频率分布直方图可知，箱产量低于 $50\text{kg}$ 的频率为各组频率之和。
组距为 $5$，对应区间 $[25, 30), [30, 35), [35, 40), [40, 45), [45, 50)$ 的纵坐标（频率/组距）分别为 $0.012, 0.014, 0.024, 0.034, 0.040$。
则事件 $A$ 的概率估计值为：
$$ P(A) = (0.012 + 0.014 + 0.024 + 0.034 + 0.040) \times 5 = 0.124 \times 5 = 0.62 $$

（2）根据题意及直方图数据，整理列联表如下：
旧养殖法中，箱产量 $<50\text{kg}$ 的频数为 $100 \times 0.62 = 62$，则 $\ge 50\text{kg}$ 的频数为 $100 - 62 = 38$。
新养殖法中，箱产量 $<50\text{kg}$ 的频率为 $(0.004 + 0.020 + 0.044) \times 5 = 0.068 \times 5 = 0.34$，频数为 $100 \times 0.34 = 34$；则 $\ge 50\text{kg}$ 的频数为 $100 - 34 = 66$。

列联表如下：

计算 $K^2$ 的观测值：
$$ K^2 = \frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)} = \frac{200 \times (62 \times 66 - 38 \times 34)^2}{100 \times 100 \times 96 \times 104} $$
$$ K^2 = \frac{200 \times (4092 - 1292)^2}{10000 \times 9984} = \frac{200 \times 2800^2}{99840000} = \frac{1568000000}{99840000} \approx 15.705 $$
因为 $15.705 > 6.635$，所以有 $99\%$ 的把握认为箱产量与养殖方法有关。

（3）通过计算平均产量进行比较：
旧养殖法的平均产量 $\overline{x}_1$ 为：
$$ \begin{aligned} \overline{x}_1 &= (27.5 \times 0.012 + 32.5 \times 0.014 + 37.5 \times 0.024 + 42.5 \times 0.034 + 47.5 \times 0.040 \\ &\quad + 52.5 \times 0.032 + 57.5 \times 0.032 + 62.5 \times 0.012 + 67.5 \times 0.012) \times 5 \\ &= (0.33 + 0.455 + 0.9 + 1.445 + 1.9 + 1.68 + 1.84 + 0.75 + 0.81) \times 5 \\ &= 9.42 \times 5 = 47.1 (\text{kg}) \end{aligned} $$

新养殖法的平均产量 $\overline{x}_2$ 为：
$$ \begin{aligned} \overline{x}_2 &= (37.5 \times 0.004 + 42.5 \times 0.020 + 47.5 \times 0.044 + 52.5 \times 0.054 \\ &\quad + 57.5 \times 0.046 + 62.5 \times 0.010 + 67.5 \times 0.008) \times 5 \\ &= (0.15 + 0.85 + 2.09 + 2.835 + 2.645 + 0.625 + 0.54) \times 5 \\ &= 10.47 \times 5 = 52.35 (\text{kg}) \end{aligned} $$

因为 $\overline{x}_2 > \overline{x}_1$，即新养殖法的平均产量高于旧养殖法，故新养殖法优于旧养殖法。