2017 新课标 II 卷 数学

（5分） $\frac { 3 + i } { 1 + i } =$ （　　）

（5分）设集合A={1，2，4}， ${ \mathsf { B } } = \{ \mathbf { x } | \mathbf { x } ^ { 2 } - 4 \mathbf { x } ^ { + } \mathbf { m } { = } 0 \}$ ．若 $\mathsf { A } \cap \mathsf { B } = \{ 1 \}$ ，则B=（ ）

（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（　　）

（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（　　）

（5分）设x，y满足约束条件 $\left\{ \begin{array} { l l } { 2 \mathbf { x } + 3 \mathbf { y } - 3 \leqslant 0 } \\ { 2 \mathbf { x } - 3 \mathbf { y } + 3 \geqslant 0 } \\ { \mathbf { y } + 3 \geqslant 0 } \end{array} \right.$ ，则z=2x+y的最小值是（　　）

（5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（　　）

（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（　　）

（5分）执行如图的程序框图，如果输入的$a=$﹣1，则输出的$S=$（　　）

（5分）若双曲线C： $\frac { \texttt { x } ^ { 2 } } { \texttt { a } ^ { 2 } } - \frac { \texttt { y } ^ { 2 } } { \texttt { b } ^ { 2 } } = 1 ~ ( \texttt { a } > 0 , ~ \texttt { b } > 0 )$ 的一条渐近线被圆 $( \textsf { x } - 2 )$ $\scriptstyle 2 + y ^ { 2 } = 4$ 所截得的弦长为2，则C的离心率为（　　）A．2 B $\sqrt { 3 }$ C $\sqrt { 2 }$ D $\frac { 2 { \sqrt { 3 } } } { 3 }$

（5分）已知直三棱柱 $\mathsf { A B C } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 中， $\angle A B C = 1 2 0 ^ { \circ }$ $\mathsf { A B } { = } 2$ $\mathsf { B C } = \mathsf { C C } _ { 1 } = 1$ ，则异面直线 $\mathsf { A B } _ { 1 }$ 与 $\mathsf { B C } _ { 1 }$ 所成角的余弦值为（ ）A $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ B $\frac { \sqrt { 1 5 } } { 5 }$ C $\frac { \sqrt { 1 0 } } { 5 }$ D $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$

（5分）若 $x = - 2$ 是函数f $\mathbf { \Phi } ( \mathbf { x } ) \ = \ \left( \mathbf { x } ^ { 2 } + \mathbf { a x } - 1 \right) \ \mathbf { e } ^ { \mathbf { x } \cdot \mathbf { 1 } }$ 的极值点，则f（x）的极小值为（　　）

（5分）已知 $\triangle A B C$ 是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 $\overrightarrow { \mathsf { P A } } ^ { \bullet }$ （$\overrightarrow { P B } + \overrightarrow { P C } )$ 的最小值是（　　）A．﹣2 B $- \frac { 3 } { 2 }$ C $- \frac { 4 } { 3 }$ D．﹣1

（5分）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则$DX= 1.96$

（5分）函数f $( x ) \ = \sin ^ { 2 } x + \sqrt { 3 } \cos x - \frac { 3 } { 4 } ( x \in [ 0 , \frac { \pi } { 2 } ] )$ 的最大值是　1

（5分）已知F是抛物线C： $y ^ { 2 } = 8 x$ 的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则 $\left| \mathsf { F N } \right| = \begin{array} { r l } \end{array}$

（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：

旧养殖法

新养殖法

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1>箱产量&lt;50kg</td><td rowspan=1 colspan=1>箱产量≥50kg</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>旧养殖法</td><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1></td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>新养殖法</td><td rowspan=1 colspan=1></td><td rowspan=1 colspan=1></td></tr></table>

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

附：

<table><tr><td rowspan=1 colspan=1>P（K²≥k）</td><td rowspan=1 colspan=1>0.050</td><td rowspan=1 colspan=1>0.010</td><td rowspan=1 colspan=1>0.001</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=1>k</td><td rowspan=1 colspan=1>3.841</td><td rowspan=1 colspan=1>6.635</td><td rowspan=1 colspan=1>10.828</td></tr><tr><td rowspan=1 colspan=4> $k ^ { 2 } = \frac { n \left( \mathrm { a d - b c } \right) ^ { 2 } } { \left( \mathrm { a + b } \right) \left( \mathrm { c + d } \right) \left( \mathrm { a + c } \right) \left( \mathrm { b + d } \right) } .$ </td></tr></table>

（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为ρcosθ=4．
（1）M为曲线C₁上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C₂的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为（2，$\dfrac{\pi}{3}$），点B在曲线C₂上，求△OAB面积的最大值．

已知$a>0$，$b>0$，$a^3+b^3=2$．证明：
（1）$(a+b)(a^5+b^5)\geq4$；
（2）$a+b\leq2$．