（12分）（2013•广东）已知函数 ( x ) = 2…——2013 高考数学第 16 题答案解析

（1）将 $x = -\frac{\pi}{6}$ 代入函数解析式 $f(x) = \sqrt{2}\cos(x - \frac{\pi}{12})$，得：
$$ f(-\frac{\pi}{6}) = \sqrt{2}\cos(-\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{12}) = \sqrt{2}\cos(-\frac{\pi}{4}) $$
由余弦函数的偶函数性质及特殊角三角函数值可知 $\cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，故：
$$ f(-\frac{\pi}{6}) = \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 $$

（2）已知 $\cos\theta = \frac{3}{5}$，且 $\theta \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$，即 $\theta$ 为第四象限角，故 $\sin\theta < 0$。
由同角三角函数基本关系得：
$$ \sin\theta = -\sqrt{1-\cos^2\theta} = -\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2} = -\frac{4}{5} $$
利用二倍角公式计算 $\sin2\theta$ 和 $\cos2\theta$：
$$ \sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2 \times (-\frac{4}{5}) \times \frac{3}{5} = -\frac{24}{25} $$
$$ \cos2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 2 \times (\frac{3}{5})^2 - 1 = \frac{18}{25} - 1 = -\frac{7}{25} $$
待求式为 $f(2\theta + \frac{\pi}{3})$，代入函数定义：
$$ f(2\theta + \frac{\pi}{3}) = \sqrt{2}\cos[(2\theta + \frac{\pi}{3}) - \frac{\pi}{12}] $$
化简括号内的角度：
$$ (2\theta + \frac{\pi}{3}) - \frac{\pi}{12} = 2\theta + \frac{4\pi}{12} - \frac{\pi}{12} = 2\theta + \frac{3\pi}{12} = 2\theta + \frac{\pi}{4} $$
故：
$$ f(2\theta + \frac{\pi}{3}) = \sqrt{2}\cos(2\theta + \frac{\pi}{4}) $$
展开两角和的余弦公式：
$$ \begin{aligned} \sqrt{2}\cos(2\theta + \frac{\pi}{4}) &= \sqrt{2}(\cos2\theta\cos\frac{\pi}{4} - \sin2\theta\sin\frac{\pi}{4}) \\ &= \sqrt{2}(\cos2\theta \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin2\theta \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \\ &= \cos2\theta - \sin2\theta \end{aligned} $$
将之前求得的 $\sin2\theta$ 和 $\cos2\theta$ 的值代入：
$$ \cos2\theta - \sin2\theta = -\frac{7}{25} - (-\frac{24}{25}) = -\frac{7}{25} + \frac{24}{25} = \frac{17}{25} $$