（12分） A B C 在内角A、B、C的对边分别为a，b…——2013 高考数学第 17 题答案解析

（Ⅰ）由正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$，将已知等式 $a = b\cos C + c\sin B$ 转化为角的关系：
$$ \sin A = \sin B \cos C + \sin C \sin B $$
在 $\triangle ABC$ 中，$A = \pi - (B+C)$，故 $\sin A = \sin(B+C) = \sin B \cos C + \cos B \sin C$。
代入上式得：
$$ \sin B \cos C + \cos B \sin C = \sin B \cos C + \sin C \sin B $$
化简得：
$$ \cos B \sin C = \sin B \sin C $$
因为 $C \in (0, \pi)$，所以 $\sin C \neq 0$，两边同除以 $\sin C$ 得：
$$ \cos B = \sin B \implies \tan B = 1 $$
又因为 $B \in (0, \pi)$，所以 $B = \frac{\pi}{4}$。

（Ⅱ）$\triangle ABC$ 的面积公式为 $S = \frac{1}{2}ac\sin B$。
由（Ⅰ）知 $B = \frac{\pi}{4}$，则 $\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$，故：
$$ S = \frac{\sqrt{2}}{4}ac $$
由余弦定理 $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$，且已知 $b=2$，$\cos B = \frac{\sqrt{2}}{2}$，得：
$$ 4 = a^2 + c^2 - \sqrt{2}ac $$
根据基本不等式 $a^2 + c^2 \ge 2ac$（当且仅当 $a=c$ 时取等号），代入上式：
$$ 4 \ge 2ac - \sqrt{2}ac = (2-\sqrt{2})ac $$
解得：
$$ ac \le \frac{4}{2-\sqrt{2}} = \frac{4(2+\sqrt{2})}{2} = 2(2+\sqrt{2}) = 4+2\sqrt{2} $$
所以面积的最大值为：
$$ S_{\max} = \frac{\sqrt{2}}{4} \times (4+2\sqrt{2}) = \sqrt{2} + 1 $$
即 $\triangle ABC$ 面积的最大值为 $\sqrt{2}+1$。