（10分）已知 A B C 的内角A，B及其对边a，b满足…——2010 高考数学第 17 题答案解析

由正弦定理，将 $a, b$ 用角表示：$a = 2R\sin A$，$b = 2R\sin B$。

代入已知等式 $a + b = a\cot A + b\cot B$，两边约去 $2R$，得：
$$\sin A + \sin B = \sin A \cdot \frac{\cos A}{\sin A} + \sin B \cdot \frac{\cos B}{\sin B}$$

化简右边：
$$\sin A + \sin B = \cos A + \cos B$$

移项整理：
$$\sin A - \cos A = \cos B - \sin B$$

利用辅助角公式，左边化为 $\sqrt{2}\sin\left(A - \dfrac{\pi}{4}\right)$，右边化为 $\sqrt{2}\sin\left(\dfrac{\pi}{4} - B\right) = -\sqrt{2}\sin\left(B - \dfrac{\pi}{4}\right)$。

即：
$$\sin\left(A - \frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(B - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4} - B\right)$$

由于 $A, B$ 为三角形内角，$0 < A < \pi$，$0 < B < \pi$，故：
$$-\frac{\pi}{4} < A - \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4}, \quad -\frac{3\pi}{4} < \frac{\pi}{4} - B < \frac{\pi}{4}$$

由 $\sin\left(A - \dfrac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4} - B\right)$，分两种情况讨论：

**情况一**：两角相等，即
$$A - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} - B$$
解得 $A + B = \dfrac{\pi}{2}$。

**情况二**：两角互补，即
$$A - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} - B = \pi$$
解得 $A - B = \pi$。但 $0 < A < \pi$，$0 < B < \pi$，故 $-\pi < A - B < \pi$，不可能等于 $\pi$，此情况舍去。

因此 $A + B = \dfrac{\pi}{2}$，从而：
$$C = \pi - (A + B) = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$$