若 : x [ 0 , : : π 4 ]，tanx£m”…——2015 高考数学第 12 题答案解析

命题“$\forall x \in [0, \frac{\pi}{4}], \tan x \le m$”为真，等价于 $m$ 不小于函数 $y = \tan x$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上的最大值。

因为正切函数 $y = \tan x$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上单调递增，所以当 $x = \frac{\pi}{4}$ 时，函数取得最大值，即 $(\tan x)_{\max} = \tan \frac{\pi}{4} = 1$。

要使不等式 $\tan x \le m$ 恒成立，需满足 $m \ge (\tan x)_{\max}$，即 $m \ge 1$。

故实数 $m$ 的最小值为 1。