（12分）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=…——2014 高考数学第 17 题答案解析

（1）连接 $BD$。
在 $\triangle BCD$ 中，由余弦定理得：
$$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 BC \cdot CD \cos C = 3^2 + 2^2 - 2 \times 3 \times 2 \cos C = 13 - 12 \cos C$$
在 $\triangle ABD$ 中，由余弦定理得：
$$BD^2 = AB^2 + DA^2 - 2 AB \cdot DA \cos A = 1^2 + 2^2 - 2 \times 1 \times 2 \cos A = 5 - 4 \cos A$$
因为四边形 $ABCD$ 的内角 $A$ 与 $C$ 互补，即 $A + C = \pi$，所以 $\cos A = -\cos C$。
代入上式得：
$$BD^2 = 5 + 4 \cos C$$
联立关于 $BD^2$ 的两个等式：
$$13 - 12 \cos C = 5 + 4 \cos C$$
解得：
$$16 \cos C = 8 \implies \cos C = \frac{1}{2}$$
因为 $C \in (0, \pi)$，所以 $C = \frac{\pi}{3}$（即 $60^\circ$）。
将 $\cos C = \frac{1}{2}$ 代入 $BD^2$ 的表达式：
$$BD^2 = 13 - 12 \times \frac{1}{2} = 7 \implies BD = \sqrt{7}$$

（2）由（1）知 $C = \frac{\pi}{3}$，则 $A = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$。
所以 $\sin C = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin A = \sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
四边形 $ABCD$ 的面积 $S$ 为 $\triangle ABD$ 与 $\triangle BCD$ 面积之和：
$$S = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle BCD}$$
$$S = \frac{1}{2} AB \cdot DA \sin A + \frac{1}{2} BC \cdot CD \sin C$$
$$S = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \times 3 \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$S = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$