(1) 右焦点为 $F(2,0)$，故 $c=2$。双曲线渐近线为 $y=\pm\dfrac ba x$，已知为 $y=\pm\sqrt3x$，所以 $\dfrac ba=\sqrt3$，即 $b=\sqrt3a$。又 $c^2=a^2+b^2$，于是
$$4=a^2+3a^2=4a^2,$$
得 $a=1$，$b=\sqrt3$。因此
$$C:x^2-\frac{y^2}{3}=1.$$
(2) 下面证明①②③中任意两个成立，均可推出第三个成立。
设 $M(x_0,y_0)$。先说明直线 $AB$ 可设为 $y=k(x-2)$。若所选条件含②，则因 $x_1>x_2$，$PQ$ 不竖直，故与之平行的 $AB$ 不竖直；若所选条件为①③，假设 $AB$ 竖直，则 $A(2,2\sqrt3)$，$B(2,-2\sqrt3)$。由 $|MA|=|MB|$ 知 $M$ 在 $x$ 轴上，又 $M\in AB$，故 $M(2,0)$。此时过 $M$ 且斜率分别为 $-\sqrt3$、$\sqrt3$ 的直线为 $y=\pm\sqrt3(x-2)$，代入双曲线均得 $x=\dfrac54$，与 $x_1>x_2$ 矛盾。因此 $AB$ 不竖直。又 $AB$ 与两条渐近线有两个不同交点，所以 $k\ne0$ 且 $k^2\ne3$。
条件① $M\in AB$ 等价于
$$y_0=k(x_0-2)\iff ky_0=k^2(x_0-2).$$
求条件③的代数形式。两条渐近线可合并为 $3x^2-y^2=0$。与 $y=k(x-2)$ 联立：
$$(3-k^2)x^2+4k^2x-4k^2=0.$$
设 $A,B$ 的横坐标分别为 $x_A,x_B$，则
$$\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{2k^2}{k^2-3}.$$
记 $AB$ 中点为 $N(x_N,y_N)$，则
$$x_N=\frac{2k^2}{k^2-3},\qquad y_N=k(x_N-2)=\frac{6k}{k^2-3}.$$
$|MA|=|MB|$ 等价于 $M$ 在 $AB$ 的垂直平分线上，即
$$(x_0-x_N)+k(y_0-y_N)=0,$$
所以
$$x_0+ky_0=x_N+ky_N=\frac{8k^2}{k^2-3}.$$
求条件②的代数形式。直线 $PM$ 斜率为 $-\sqrt3$，故
$$y+\sqrt3x=y_0+\sqrt3x_0=:u.$$
代入 $3x^2-y^2=3$，即 $(\sqrt3x+y)(\sqrt3x-y)=3$，得
$$x_1=\frac{1}{2\sqrt3}\left(u+\frac3u\right).$$
直线 $QM$ 斜率为 $\sqrt3$，故
$$y-\sqrt3x=y_0-\sqrt3x_0=:v,$$
同理得
$$x_2=-\frac{1}{2\sqrt3}\left(v+\frac3v\right).$$
其中 $uv=y_0^2-3x_0^2\ne0$。于是
$$x_1-x_2=\frac{y_0}{\sqrt3}\left(1+\frac{3}{uv}\right).$$
又由
$$y_1-y_0=-\sqrt3(x_1-x_0),\qquad y_2-y_0=\sqrt3(x_2-x_0),$$
得
$$y_1-y_2=-\sqrt3(x_1+x_2-2x_0).$$
并且
$$x_1+x_2-2x_0=-x_0\left(1+\frac{3}{uv}\right).$$
因为 $x_1>x_2$，上述因子不为 $0$，且 $y_0\ne0$。因此 $PQ$ 的斜率
$$m=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{3x_0}{y_0}.$$
故 $PQ\parallel AB$ 等价于
$$m=k\iff ky_0=3x_0.$$
综上，三个条件分别化为
$$\text{①'}\ ky_0=k^2(x_0-2),$$
$$\text{②'}\ ky_0=3x_0,$$
$$\text{③'}\ x_0+ky_0=\frac{8k^2}{k^2-3}.$$
若①'、②'成立，则 $k^2(x_0-2)=3x_0$，解得
$$x_0=\frac{2k^2}{k^2-3},\qquad ky_0=3x_0=\frac{6k^2}{k^2-3}.$$
于是
$$x_0+ky_0=\frac{8k^2}{k^2-3},$$
即③'成立。
若①'、③'成立，令 $t=ky_0$，则 $t=k^2(x_0-2)$，且
$$x_0+t=\frac{8k^2}{k^2-3}.$$
代入得
$$x_0+k^2(x_0-2)=\frac{8k^2}{k^2-3},$$
解得
$$x_0=\frac{2k^2}{k^2-3}.$$
于是
$$t=k^2(x_0-2)=\frac{6k^2}{k^2-3}=3x_0,$$
即②'成立。
若②'、③'成立，则 $ky_0=3x_0$，代入③'得
$$x_0+3x_0=\frac{8k^2}{k^2-3},$$
所以
$$x_0=\frac{2k^2}{k^2-3}.$$
于是
$$ky_0=3x_0=\frac{6k^2}{k^2-3}=k^2(x_0-2),$$
即①'成立。
因此，①②③中任选两个作为条件，另一个均可被证明成立。