（10分）设等差数列 a _ n 的前n项和为 S _ n…——2009 高考数学第 17 题答案解析

设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，等比数列 $\{b_n\}$ 的公比为 $q$（$q > 0$）。

由已知条件：
- $a_1 = 1$，故 $a_3 = 1 + 2d$；
- $b_1 = 3$，故 $b_3 = 3q^2$。

根据 $a_3 + b_3 = 17$，得
$$1 + 2d + 3q^2 = 17. \tag{1}$$

又 $S_3 = 3a_1 + 3d = 3 + 3d$，$T_3 = 3 + 3q + 3q^2$，根据 $T_3 - S_3 = 12$，得
$$(3 + 3q + 3q^2) - (3 + 3d) = 12,$$
即
$$3q^2 + 3q - 3d = 12. \tag{2}$$

由 $(1)$ 式得 $2d = 16 - 3q^2$，即 $d = 8 - \dfrac{3}{2}q^2$。代入 $(2)$ 式：
$$3q^2 + 3q - 3\left(8 - \frac{3}{2}q^2\right) = 12,$$
$$3q^2 + 3q - 24 + \frac{9}{2}q^2 = 12,$$
$$\frac{15}{2}q^2 + 3q - 36 = 0,$$
两边乘以 $2$：
$$15q^2 + 6q - 72 = 0,$$
除以 $3$：
$$5q^2 + 2q - 24 = 0.$$

解此一元二次方程：
$$q = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 480}}{10} = \frac{-2 \pm 22}{10}.$$

因为 $q > 0$，取 $q = \dfrac{20}{10} = 2$。

代回求 $d$：
$$d = 8 - \frac{3}{2} \times 4 = 8 - 6 = 2.$$

因此两个数列的通项公式分别为：
$$a_n = a_1 + (n-1)d = 1 + 2(n-1) = 2n - 1,$$
$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1} = 3 \cdot 2^{n-1}.$$