（本小题满分 12 分） 设 a_ n 的公比不为 1 的…——2012 高考数学第 17 题答案解析

（1）设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$。
由 $a_5, a_3, a_4$ 成等差数列，可得：
$$2a_3 = a_5 + a_4$$
代入通项公式 $a_n = a_1 q^{n-1}$：
$$2a_1 q^2 = a_1 q^4 + a_1 q^3$$
因为 $\{a_n\}$ 是等比数列且公比不为 1，所以 $a_1 \neq 0, q \neq 0$。两边同时除以 $a_1 q^2$，得：
$$2 = q^2 + q$$
整理得方程：
$$q^2 + q - 2 = 0$$
解得 $q = 1$ 或 $q = -2$。
由题意知公比 $q \neq 1$，故舍去 $q=1$。
所以，数列 $\{a_n\}$ 的公比 $q = -2$。

（2）要证明 $S_{k+2}, S_k, S_{k+1}$ 成等差数列，即证：
$$2S_k = S_{k+2} + S_{k+1}$$
或者等价地证明：
$$S_{k+2} + S_{k+1} - 2S_k = 0$$

**方法一：利用项的关系推导**
$$ \begin{aligned} S_{k+2} + S_{k+1} - 2S_k &= (S_{k+2} - S_k) + (S_{k+1} - S_k) \\ &= (a_{k+1} + a_{k+2}) + a_{k+1} \\ &= 2a_{k+1} + a_{k+2} \end{aligned} $$
因为 $a_{k+2} = a_{k+1} \cdot q$，且由（1）知 $q = -2$，所以：
$$ \begin{aligned} 2a_{k+1} + a_{k+2} &= 2a_{k+1} + a_{k+1} \cdot (-2) \\ &= 2a_{k+1} - 2a_{k+1} \\ &= 0 \end{aligned} $$
即 $S_{k+2} + S_{k+1} = 2S_k$，故 $S_{k+2}, S_k, S_{k+1}$ 成等差数列。

**方法二：利用求和公式推导**
等比数列前 $n$ 项和公式为 $S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。
$$ \begin{aligned} S_{k+2} + S_{k+1} - 2S_k &= \frac{a_1(1-q^{k+2})}{1-q} + \frac{a_1(1-q^{k+1})}{1-q} - \frac{2a_1(1-q^k)}{1-q} \\ &= \frac{a_1}{1-q} \left[ (1-q^{k+2}) + (1-q^{k+1}) - 2(1-q^k) \right] \\ &= \frac{a_1}{1-q} \left[ 2 - q^{k+2} - q^{k+1} - 2 + 2q^k \right] \\ &= \frac{a_1 q^k}{1-q} \left[ 2 - q^2 - q \right] \\ &= \frac{a_1 q^k}{1-q} \left[ -(q^2 + q - 2) \right] \end{aligned} $$
由（1）知 $q^2 + q - 2 = 0$，所以上式值为 0。
即 $S_{k+2} + S_{k+1} = 2S_k$，故 $S_{k+2}, S_k, S_{k+1}$ 成等差数列。